Тест по вероятности и статистике: Испытания Бернулли. Случайные величины и распределение
Класс: 10. Тип вопросов: единственный выбор. Количество вопросов: 10. Вывод теста с ответами: Да.
Вопрос 1
Что такое испытание Бернулли?
A) Эксперимент, в котором два исхода: успех или неудача.
B) Эксперимент с более чем двумя исходами.
C) Эксперимент без вероятности.
D) Случайный процесс с бесконечно множеством исходов.
Ответ: A
Пояснение: испытание Бернулли имеет ровно два исхода: успех и неудача.
Вопрос 2
Если повторить n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха p, то число успехов X распределено по:
A) Нормальному распределению
B) Биномиальному распределению
C) Пуассоновскому распределению
D) Равномерному распределению
Ответ: B
Пояснение: сумма независимых Bernoulli(p) даёт биномиальное распределение Bin(n, p).
Вопрос 3
Для биномиального распределения X ~ Bin(n, p) математическое ожидание равно:
A) np
B) n(1-p)
C) p(1-p)
D) n
Ответ: A
Пояснение: E[X] = n p.
Вопрос 4
Дисперсия биномиального распределения Var(X) для X ~ Bin(n, p) равна:
A) np
B) np(1-p)
C) n^2 p
D) p(1-p)
Ответ: B
Пояснение: Var(X) = n p (1 - p).
Вопрос 5
В эксперименте из 10 независимых испытаний Бернулли вероятность успеха p = 0,2. Найдите вероятность ровно 2 успехов.
A) примерно 0,302
B) примерно 0,500
C) примерно 0,100
D) примерно 0,900
Ответ: A
Пояснение: P(X=2) = C(10,2) p^2 (1-p)^8 = 45 * 0.04 * 0.8^8 ≈ 0.302.
Вопрос 6
Что означает параметр p в испытании Бернулли?
A) Вероятность успеха
B) Частота успехов
C) Вероятность неуспеха
D) Среднее значение
Ответ: A
Пояснение: p — вероятность наступления «успеха» в одном испытании.
Вопрос 7
Если p = 0,5 и n = 4, какова вероятность получить хотя бы один успех?
A) 0,125
B) 0,25
C) 0,9375
D) 0,5
Ответ: C
Пояснение: P(X≥1) = 1 − P(X=0) = 1 − (1−p)^n = 1 − 0.5^4 = 0.9375.
Вопрос 8
Для X ~ Bin(5, 0,4), Y = X + 3. Найдите E[Y].
A) 2
B) 3
C) 5
D) 8
Ответ: C
Пояснение: E[X] = 5 * 0,4 = 2; E[Y] = E[X] + 3 = 2 + 3 = 5.
Вопрос 9
Какое распределение соответствует одному испытанию с двумя исходами?
A) Нормальное
B) Биномиальное
C) Бернулли
D) Пуассоновское
Ответ: C
Пояснение: распределение Бернулли описывает одно испытание с двумя исходами: 1 (успех) с вероятностью p и 0 (неудача) с вероятностью 1−p.
Вопрос 10
При каких условиях биномиальное распределение можно использовать как нормальное приближение?
A) n большое
B) p близко к 0,5
C) np ≥ 5 и n(1−p) ≥ 5
D) p очень маленькое
Ответ: C
Пояснение: норм approximation допустим, когда np и n(1−p) достаточно велики, обычно np ≥ 5 и n(1−p) ≥ 5.
Конец теста.
