Дана окружность с центром O и радиусом R=5см. Из точки M проведены две касательные к окружности. Расстояние от центра до точки M равно OM=10см. Требуется найти угол между…
Дана окружность с центром O и радиусом R=5см. Из точки M проведены две касательные к окружности. Расстояние от центра до точки M равно OM=10см. Требуется найти угол между касательными.
Задача: дано окружность радиуса R = 5 см с центром O. Из точки M проведены две касательные к окружности. OM = 10 см. Найти угол между касательными.
Решение
Найдем длины касательных MA и MB из точки M. По теореме о силе точки относительно окружности: MA^2 = MO^2 − R^2 = 10^2 − 5^2 = 100 − 25 = 75 MA = MB = sqrt(75) = 5√3 см.
Рассмотрим треугольник OAM. Здесь OA является радиусом и перпендикулярен касательной MA, поэтому угол OAM равен 90°. Из треугольника OAM мы можем найти угол AOM (угол между OA и OM) по формуле косинусов: cos∠AOM = (OA^2 + OM^2 − AM^2) / (2·OA·OM) = (5^2 + 10^2 − (5√3)^2) / (2·5·10) = (25 + 100 − 75) / 100 = 50 / 100 = 1/2.
Значит ∠AOM = 60°.
По симметрии треугольников OAM и OBM ( OA = OB = 5, AM = BM = 5√3, OM общая) углы при O равны: ∠MOB = ∠AOM = 60°. Следовательно центральный угол ∠AOB = ∠AOM + ∠MOB = 60° + 60° = 120°.
Угол между касательными из точки M связан с центральным углом AOB тем, что ∠AMB = 180° − ∠AOB. Тогда ∠AMB = 180° − 120° = 60°.
Ответ: угол между касательными равен 60°.
