Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 13, а плоский угол при вершине пирамиды равен 60°. Найди площадь основания пирамиды.

Решение:

1. Пусть основание — квадрат со стороной a, вершина пирамиды V над центром O основания. Высота h = VO = 13. Все боковые ребра VA, VB и т. д. равны, обозначим их длину как l.

2. Рассмотрим боковую грань VAB — треугольник с вершиной V и основанием AB = a. По условию угол при вершине равен ∠AVB = 60°. Применим теорему косинусов в треугольнике VAB: a^2 = VA^2 + VB^2 − 2·VA·VB·cos(∠AVB) so, a^2 = l^2 + l^2 − 2·l·l·cos 60° = 2l^2 − 2l^2·(1/2) = l^2. Отсюда a = l.

3. В квадрате OA — расстояние от центра до вершины квадрата: OA = a√2/2. Высота VO перпендикулярна основанию, следовательно в треугольнике VOA выполняется VA^2 = VO^2 + OA^2 то есть l^2 = h^2 + (a√2/2)^2. Так как a = l, имеем l^2 = h^2 + (l^2/2) ⇒ (l^2)/2 = h^2 ⇒ l^2 = 2h^2.

4. Подставим h = 13: l^2 = 2·13^2 = 2·169 = 338, значит a^2 = l^2 = 338.

5. Площадь основания (квадрата) S_base = a^2 = 338.

Ответ: 338 (квадратных единиц).