в треугольнике ABC ьиссектриса CNа высота BH пересикаються под углом 75* натидет угол ABC если угол ABH: угол CBN=1:3

Разберём задачу по шагам.

Дано:

• В треугольнике ABC CN — биссектор угла C, N лежит на AB.
• BH — высота из вершины B на сторону AC.
• Угол между_CN и BH равен 75°.
• Угол ABH:угол CBN = 1:3.

1. Найдём выражения для ABH и CBN через углы треугольника.

• BH ⟂ AC, поэтому угол ABH является углом между AB и линией, перпендикулярной AC. Это равно 90° − ∠A. Так что ∠ABH = 90° − ∠A.
• BN лежит на AB, следовательно ∠CBN есть угол между BC и BA, то есть это угол ∠ABC = ∠B. Так что ∠CBN = ∠B.

Из условия отношения получаем: ∠ABH : ∠CBN = 1:3 → (90° − ∠A) = (1/3)∠B. Отсюда ∠B = 3(90° − ∠A) = 270° − 3∠A. (Уравнение 1)

2. Выразим угол между CN и BH через C. CN — биссектор угла C, значит угол между CN и CA равен ∠C/2. BH перпендикулярна CA, поэтому угол между CN и BH равен 90° − ∠C/2. По условию этот угол равен 75°: 90° − ∠C/2 = 75° → ∠C/2 = 15° → ∠C = 30°.

3. Используем сумму углов треугольника. ∠A + ∠B + ∠C = 180°, и из шага 2 ∠C = 30°, значит ∠A + ∠B = 150°. Подставим в уравнение 1: ∠B = 270° − 3∠A. Тогда ∠A + (270° − 3∠A) = 150° → 270° − 2∠A = 150° → ∠A = 60°. Откуда ∠B = 150° − ∠A = 150° − 60° = 90°.

Ответ: угол ∠ABC равен 90°.

Проверка:

• ∠ABH = 90° − ∠A = 30°.
• ∠CBN = ∠B = 90°.
• Соотношение 30°:90° = 1:3 верно.
• Угол между CN и BH равен 90° − ∠C/2 = 90° − 15° = 75°, как дано.