Решить задачу: Окружность с центром О.Прямая пересекает окружность в точка А и Н. Найдите расстояние от центра до прямой, если АН=8 см, угол АОН = 90 градусов

Задача: радиус окружности — R, центр O. Прямая пересекает окружность в точках A и N, длина хорды AN = 8 см, центральный угол AON = 90°. Найдите расстояние d от центра О до прямой (то есть до хорды AN).

Пошаговое решение:

1. Связь длины хорды с радиусом и центральным углом.

• Длина хорды AN равна: AN = 2R sin(∠AON/2).
• Здесь ∠AON = 90°, значит ∠AON/2 = 45°. sin 45° = √2/2.
• Получаем AN = 2R · (√2/2) = R√2.
• Отсюда R = AN / √2 = 8 / √2 = 4√2 см.

2. Расстояние от центра до хорды (перпендикулярное расстояние).

• В прямоугольном треугольнике с гипотенузой R и половиной хорды AN/2, расстояние от центра до прямой d удовлетворяет: d^2 = R^2 − (AN/2)^2.
• AN/2 = 8/2 = 4. R^2 = (4√2)^2 = 32.
• d^2 = 32 − 16 = 16 ⇒ d = 4 см.

Проверка (альтернативный подход): d = R cos(∠AON/2) = (4√2) cos 45° = (4√2) · (√2/2) = 4 см.

Ответ: 4 см.