В окружность с центром O O вписан четырёхугольник M N Q J MNQJ . Определи градусную меру угла N Q J NQJ , если ∠ M N J = 57 ° ∠MNJ=57° , ∠ N Q M = 42 ° ∠NQM=42° .

Задача по окружности и вписанному четырёхугольнику MNQJ.

Пусть обозначим дуги между соседними вершинами по порядку M → N → Q → J → M следующими величинами:

• a = дуга MN
• b = дуга NQ
• c = дуга QJ
• d = дуга JM

Из условий:

• ∠MNJ = 57° — угол, вписанный в дугу MJ ( та дуга, которая не содержит N). Значит d = 2·57 = 114°.
• ∠NQM = 42° — угол, вписанный в дугу NM ( та дуга, которая не содержит Q). Значит a = 2·42 = 84°.

Сумма всех дуг окружности равна 360°, поэтому: a + b + c + d = 360° → b + c = 360° − (84° + 114°) = 162°.

Угол ∠NQJ равен половине дуги NJ, не содержащей Q. Между N и J две дуги: N→Q→J (содержит Q) и N→M→J (не содержит Q). Следовательно, искомая дуга NJ не содержит Q равна a + d = 84° + 114° = 198°.

Тогда: ∠NQJ = 1/2 · 198° = 99°.

Ответ: 99°.