В окружность с центром  O O вписан четырёхугольник  M N Q J MNQJ. Определи градусную меру угла  N Q J NQJ, если  ∠ M N J = 57 ° ∠MNJ=57°,  ∠ N Q M = 42 ° ∠NQM=42°.

Задача по окружности и вписанному четырёхугольнику MNQJ. Пусть обозначим дуги между соседними вершинами по порядку M → N → Q → J → M следующими величинами: - a = дуга MN - b = дуга NQ - c = дуга QJ - d = дуга JM Из условий: - ∠MNJ = 57° — угол, вписанный в дугу MJ ( та дуга, которая не содержит N). Значит d = 2·57 = 114°. - ∠NQM = 42° — угол, вписанный в дугу NM ( та дуга, которая не содержит Q). Значит a = 2·42 = 84°. Сумма всех дуг окружности равна 360°, поэтому: a + b + c + d = 360° → b + c = 360° − (84° + 114°) = 162°. Угол ∠NQJ равен половине дуги NJ, не содержащей Q. Между N и J две дуги: N→Q→J (содержит Q) и N→M→J (не содержит Q). Следовательно, искомая дуга NJ не содержит Q равна a + d = 84° + 114° = 198°. Тогда: ∠NQJ = 1/2 · 198° = 99°. Ответ: 99°.