y=√4-3x , y=√x вычислить площади плоских фигур с помощью определённого интеграла

Задача: найти площадь области, ограниченной кривыми y = √(4 − 3x) и y = √x (плюс естественные границы области определения). Пересечение кривых даёт точку (1, 1), а левая граница — x = 0 (поскольку y = √x определена только для x ≥ 0). Тогда площадь равна интегралу по x от 0 до 1 под разностью верхней и нижней функций:

A = ∫₀¹ [√(4 − 3x) − √x] dx.

1. Найдём ∫₀¹ √(4 − 3x) dx.

• Пусть u = 4 − 3x, du = −3 dx, dx = −du/3.
• При x = 0: u = 4; при x = 1: u = 1.
• Тогда ∫₀¹ √(4 − 3x) dx = (1/3) ∫₁⁴ √u du = (1/3) · [ (2/3) u^{3/2} ]₁⁴ = (2/9)(4^{3/2} − 1) = (2/9)(8 − 1) = 14/9.

2. Найдём ∫₀¹ √x dx.

• ∫ √x dx = (2/3) x^{3/2}, поэтому от 0 до 1: (2/3).

3. Разность: A = 14/9 − 2/3 = 14/9 − 6/9 = 8/9.

Ответ: площадь между кривыми равна 8/9 квадратных единиц.

Если имелась другая трактовка области (например, другая граница), скажите — могу посчитать альтернативный вариант.