диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол 30°со второй стороной. найдите площадь параллелограмма.
Задача: диагональ параллелограмма равна 18 см, перпендикулярна одной стороне и образует угол 30° с другой стороной. Найдите площадь параллелограмма.
Пояснение и решение (для 8 класса):
- Обозначения
- Пусть стороны параллелограмма AB и BC имеют длины a и b соответственно. Пусть угол между ними, то есть ∠ABC, равен θ.
- Пусть диагональ AC имеет длину d = 18 см.
- По условию диагональ перпендикулярна одной стороне и образует с другой стороной угол 30°. Пусть диагональ AC перпендикулярна стороне AB, а угол между AC и BC равен 30°. Считаем так удобнее, но можно рассмотреть и симметричную ситуацию — в итоге ответ окажется тем же.
Условие перпендикулярности даёт relation между a, b и θ Если AC ⟂ AB, то скалярное произведение AB·AC равно нулю: AB = (a, 0), AC = (a + b cos θ, b sin θ). AB·AC = a(a + b cos θ) = 0 → a + b cos θ = 0 → cos θ = -a/b.
Угол между AC и BC равен 30° Для диагонали AC угол с боковой стороной BC даёт cos(угол_AC_BC) = (AC·BC) / (|AC||BC|). Расчёт даёт в итоге удобную зависимость: при AC ⟂ AB именно cos(угол_AC_BC) = d / b. Из условия угол равен 30°, поэтому d / b = cos 30° = √3/2. Отсюда b = 2d / √3 = 2·18 / √3 = 36 / √3 = 12√3 см.
Найдём a и θ Из того же условия для диагонали AC выполняется формула длины диагонали в параллелограмме: d^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ. Но когда мы взяли cos θ = -a/b, получаем упрощение: d^2 = b^2 − a^2. Следовательно a^2 = b^2 − d^2 = (12√3)^2 − 18^2 = 432 − 324 = 108, а значит a = √108 = 6√3 см.
Теперь найдём θ из cos θ = -a/b: cos θ = -(6√3)/(12√3) = -1/2 → θ = 120° (или 60° во взаимном случае, но sin останется одинаковым по модулю).
- Площадь параллелограмма Площадь вычисляется как S = ab sin θ.
- a = 6√3, b = 12√3, θ = 120°, sin 120° = √3/2.
S = (6√3)(12√3)(√3/2) = (6·12·3)(√3/2) = 216 · (√3/2) = 108√3 см².
Ответ: площадь параллелограмма равна 108√3 квадратных сантиметров (примерно 187,1 см²).
