Решить уравнение 2| 6700-х|=|х-4300| опишите теоретическую базу решения задачи, преобразуйте данную задачу в контекстную, обеспечивающую развитие функциональной грамотности обучающихся

Задача: решить уравнение 2|6700 − x| = |x − 4300|. 1) Теоретическая база решения - Абсолютная величина определяется как неотрицательное число: |t| ≥ 0, и равна t, если t ≥ 0, или −t, если t < 0. - Чтобы решить уравнение с модулем, полезно рассмотреть участки, где выражения внутри модулей не меняют знак. Ключевые точки здесь: 6700 − x = 0 → x = 6700 и x − 4300 = 0 → x = 4300. - Разделяем на три интервала: - x ≤ 4300: 6700 − x ≥ 0, x − 4300 ≤ 0 |6700 − x| = 6700 − x, |x − 4300| = 4300 − x - 4300 ≤ x ≤ 6700: 6700 − x ≥ 0, x − 4300 ≥ 0 |6700 − x| = 6700 − x, |x − 4300| = x − 4300 - x ≥ 6700: 6700 − x ≤ 0, x − 4300 ≥ 0 |6700 − x| = x − 6700, |x − 4300| = x − 4300 - В каждом интервале записываем обычное линейное уравнение без модулей и находим x, затем проверяем, попадает ли решение в данный интервал. 2) Преобразование в контекстную задачу (для развития функциональной грамотности) Контекст: город расположен вдоль прямой дороги. Две важные точки: A на расстоянии 4300 м от начала дороги и B на расстоянии 6700 м. Нужно выбрать место склада x вдоль той же дороги так, чтобы расстояние до A было вдвое больше расстояния до B: |x − 4300| = 2|6700 − x|. Это позволяет учащимся увидеть связь между геометрическими понятиями (размеры расстояний на прямой) и алгебраическим уравнением с модулем. Перевод задачи в такие формулировки развивает способность видеть математику как инструмент для решения реальных задач: планирование размещения объекта в реальном пространстве, оценка оптимальных точек, проверка условий и т.д. 3) Решение (пошагово) - Разделим по трём интервалам и решим каждое уравнение. a) Для x ≤ 4300: 2(6700 − x) = 4300 − x 13400 − 2x = 4300 − x −2x + x = 4300 − 13400 −x = −9100 x = 9100 Но 9100 не лежит в интервале x ≤ 4300 → решение не подходит здесь. b) Для 4300 ≤ x ≤ 6700: 2(6700 − x) = x − 4300 13400 − 2x = x − 4300 13400 + 4300 = 3x 17700 = 3x x = 5900 Это решение лежит в интервале 4300 ≤ x ≤ 6700 → подходит. c) Для x ≥ 6700: 2(x − 6700) = x − 4300 2x − 13400 = x − 4300 2x − x = 13400 − 4300 x = 9100 Это решение подходит для интервала x ≥ 6700. 4) Ответы и проверка - x = 5900 и x = 9100. Проверка: - для x = 5900: левая часть 2|6700 − 5900| = 2|800| = 1600; правая часть |5900 − 4300| = 1600 — совпали. - для x = 9100: левая часть 2|6700 − 9100| = 2|−2400| = 4800; правая часть |9100 − 4300| = 4800 — совпали. 5) Дополнительный компактный способ (теоретический) Можно решить квадратированием, так как оба модуля неотрицательны: (2|6700 − x|)^2 = (|x − 4300|)^2 → 4(6700 − x)^2 = (x − 4300)^2. Раскрывая и упрощая, получаем квадратное уравнение x^2 − 15000x + 53690000 = 0, дискриминант D = 15000^2 − 4·53690000 = 10240000, sqrt(D) = 3200, и решения x = (15000 ± 3200)/2 дают x = 5900 и x = 9100. Этот путь чуть короче по algebra, но математически он эквивалентен разбору по знакам внутри модулей и требует проверки на корректность из-за равенств модулей. Итог: - Решения: x = 5900 и x = 9100. - Контекстный смысл: точка x на линейной дороге может быть выбрана так, чтобы расстояние до A было вдвое больше расстояния до B. Это демонстрирует связь алгебраических операций с геометрическими расстояниями и развивает умение переводить задачи между формулировками и моделями.