В треугольнике ABC известно что угол C=90°, угол B =30°.Серединный перпендикуляр отрезка AB пересекаетего в точке M, а отрезок BC- в точке K. Докажите, что MK=1/3 BC.сделать чертеж треугольника

Задача: В треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 30°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает этот отрезок в точке M (то есть M — середина AB), а отрезок BC — в точке K. Это говорит, что M и K лежат на перпендикулярной биссектрисе AB. Нужно доказать, что MK = (1/3) BC. Также нужно сделать чертёж треугольника. Решение (пошагово): 1) Установим углы. В треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 30°, значит угол A = 60°. Это трёхугольник 30-60-90. Стороны пропорциональны как AC : BC : AB = 1 : √3 : 2 (относительно кратной величины). 2) Введём координаты. Пусть C = (0, 0), A = (a, 0) на оси x, B = (0, b) на оси y. Тогда AB — гипотенуза, BC = b, AC = a. 3) Условие угла B = 30° даёт отношение между a и b: cos(B) = BC / AB = b / sqrt(a^2 + b^2) = cos 30° = √3/2. Отсюда sqrt(a^2 + b^2) = 2b/√3, и после возведения в квадрат получаем b^2 = 3a^2, то есть b = √3 · a. 4) М – середина AB. Координаты A(a, 0), B(0, b) дают M = ((a+0)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2). 5) Перпендикуляр к AB через точку M: slope AB равен (b-0)/(0-a) = -b/a, поэтому перпендикуляр имеет slope a/b и уравнение y - b/2 = (a/b)(x - a/2). Отрезок BC лежит на прямой x = 0, потому что B(0, b) и C(0, 0). Найдём точку пересечения K этой прямой с перпендикуляром: подставляем x = 0 в уравнение перпендикуляра: y = b/2 + (a/b)(-a/2) = b/2 - a^2/(2b). Используем соотношение b^2 = 3a^2, тогда a^2 = b^2/3. Это даёт y_K = b/2 - (b^2/3)/(2b) = b/2 - b/6 = b/3. Значит K = (0, b/3), т.е. K лежит на BC между C и B. 6) Найдём MK. По координатам: M = (a/2, b/2), K = (0, b/3). MK^2 = (a/2 - 0)^2 + (b/2 - b/3)^2 = a^2/4 + (b/6)^2 = a^2/4 + b^2/36. Подставим b^2 = 3a^2: MK^2 = a^2/4 + (3a^2)/36 = a^2/4 + a^2/12 = (3a^2 + a^2)/12 = 4a^2/12 = a^2/3. Значит MK = a/√3. 7) Найдём BC: BC = b = √3 · a. Тогда MK / BC = (a/√3) / (√3 a) = 1/3. Следовательно MK = (1/3) · BC, что требовалось доказать. Итог: MK действительно равна одной трети длины BC. Краткий чертёж (как нарисовать шаг за шагом): - Постройте прямоугольный треугольник ABC с углом C = 90°. Пусть C = (0,0), A = (a,0) на оси x, B = (0,b) на оси y, где b = √3 · a (чтобы угол B был 30°). - Отметьте середину M отрезка AB: M = (a/2, b/2). - Постройте перпендикуляр к AB, проходящий через M (это и есть перпендикулярная биссектриса AB). - Найдите точку K пересечения этого перпендикуляра с BC (ось x = 0). По расчётам K = (0, b/3). - Отведите MK и измерьте BC. По доказательству MK = (1/3) BC. Дополнительная заметка: - Решение основано на стандартном соотношении сторон 30-60-90: AC : BC : AB = 1 : √3 : 2 и на свойстве перпендикуляра к AB через середину AB (это и есть перпендикулярная биссектриса). Формула MK = (1/3) BC получилась в результате аккуратного вычисления расстояния между M и K на этой биссектрисе.