x+y=π Cos x - Cos y =1

Решение для вещественных x и y (учебный уровень 10-й класс)

Дано: x + y = π и cos x − cos y = 1.

1. Выразим y через x: y = π − x.

2. Используем тригонометрическую идентичность cos(π − θ) = −cos θ. Тогда cos y = cos(π − x) = −cos x.

3. Подставим в второе уравнение: cos x − cos y = cos x − (−cos x) = 2 cos x. Значит 2 cos x = 1, отсюда cos x = 1/2.

4. Общее решение для cos x = 1/2: x = 2πk ± π/3, где k ∈ Z.

5. Найдём y из x+y = π: y = π − x.

   • Если x = 2πk + π/3, то y = π − (2πk + π/3) = 2π/3 − 2πk.
   • Если x = 2πk − π/3, то y = π − (2πk − π/3) = 4π/3 − 2πk.

Итого все пары решений (для любого целого k):

• x = 2πk + π/3, y = 2π/3 − 2πk;
• или x = 2πk − π/3, y = 4π/3 − 2πk.

Кратко: можно записать как x ≡ ±π/3 (mod 2π) и y = π − x, т.е. y ≡ 2π/3 или 4π/3 (mod 2π) в зависимости от выбора x.