Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20 см и образует с высотой пирамиды угол 45°.

Задача: найти объём правильной четырёхугольной пирамиды (square-based, вершина над центром базы), боковое ребро l = 20 см образует с высотой пирамиды угол 45°.

Обозначим:

• сторона основания квадрата a
• высота пирамиды h
• расстояние от центра основания до вершины основания (расстояние проекции боковой вершины) r = a/√2
• боковое ребро (рёбра от вершины к вершинам основания) l = 20 см

1. Связь угла 45° между боковым ребром и высотой Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, проекцией бокового ребра на основание r и боковым ребром l. Угол между боковым ребром и высотой равен 45°. В этом треугольнике tan(45°) = противолежащий катет (r) / прилежащий катет (h).

Отсюда r = h.

2. Связь бокового ребра l с h и r По теореме Пифагора: l^2 = h^2 + r^2. Так как r = h, получаем: l^2 = h^2 + h^2 = 2h^2 ⇒ h = l/√2.

Подставим l = 20 см: h = 20/√2 = 10√2 см.

3. Найдём сторону основания a r = h и r = a/√2, значит: a/√2 = h = 10√2 ⇒ a = 10√2 · √2 = 20 см.

4. Объём пирамиды S_base = a^2 = 20^2 = 400 см². V = (1/3) · S_base · h = (1/3) · 400 · 10√2 = 4000√2/3 см³.

Приближённо: V ≈ 4000 · 1.4142 / 3 ≈ 1885.6 см³.

Ответ: объём пирамиды равен 4000√2/3 см³ ≈ 1.886·10^3 см³.