Математическая задача. Решите уравнение: 2 модуль 6700-хравно модуль х-4300 . Задание: 1) Опишите теоретическую базу решения математической задачи (перечислить формулы, понятия,…

Я предполагаю, что задача записана так: 2|6700 − x| = |x − 4300|. Если имелось в виду другое, скажите, и я скорректирую решение.

1. Теоретическая база решения (понятия, формулы, операции)

• Модуль (абсолютная величина): для любого числа y выполняется |y| = y, если y ≥ 0; |y| = −y, если y < 0.
• Свойства модуля:
  • |ab| = |a|·|b| (необязательное для данного решения, упоминаю на будущее).
  • |a + b| неравен общей формой через |a| и |b|; для решения уравнений с двумя модулями удобнее разбирать по случаям.
• Разбиение на случаи (метод «разделить по знакам»):
  • Учитываем знаки выражений внутри модулей. В исходном уравнении внутри модулей стоят: 6700 − x и x − 4300.
  • Точки перегиба знаковых выражений: x = 6700 и x = 4300. Эти значения делят числовую ось на интервалы.
• Шаговый план решения через случаи:
  • Рассматриваем каждый интервал по знакам выражений внутри модулей.
  • Приводим выражение к линейному уравнению без модулей.
  • Решаем и проверяем, попадает ли решение в соответствующий интервал.
• Проверка решения: подстановка найденных значений обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться в их корректности.
• Примечание: в некоторых задачах можно решить и через возведение в квадрат, но здесь проще и надёжнее разложить по знакам внутри модулей и решить линейные уравнения в каждом случае.

2. Решение по шагам

Уравнение: 2|6700 − x| = |x − 4300|.

Критические точки: 4300 и 6700. Рассчитываем по трём интервалам.

• Интервал 1: x ≤ 4300 Здесь 6700 − x ≥ 0, значит |6700 − x| = 6700 − x. Также x − 4300 ≤ 0, значит |x − 4300| = 4300 − x. Уравнение становится: 2(6700 − x) = 4300 − x. 13400 − 2x = 4300 − x → 13400 − 4300 = 2x − x → 9100 = x. Но x = 9100 не принадлежит интервалу x ≤ 4300, значит решений в этом интервале нет.

• Интервал 2: 4300 ≤ x ≤ 6700 Здесь 6700 − x ≥ 0, значит |6700 − x| = 6700 − x. И x − 4300 ≥ 0, значит |x − 4300| = x − 4300. Уравнение: 2(6700 − x) = x − 4300. 13400 − 2x = x − 4300 → 13400 + 4300 = 3x → 17700 = 3x → x = 5900. x = 5900 принадлежит интервалу 4300 ≤ x ≤ 6700, значит это решение верно.

• Интервал 3: x ≥ 6700 Здесь 6700 − x ≤ 0, значит |6700 − x| = x − 6700. И x − 4300 ≥ 0, значит |x − 4300| = x − 4300. Уравнение: 2(x − 6700) = x − 4300. 2x − 13400 = x − 4300 → x = 9100. x = 9100 принадлежит интервалу x ≥ 6700, значит это решение верно.

Итог решений: x = 5900 и x = 9100.

Проверка:

• Для x = 5900: левая часть 2|6700 − 5900| = 2|800| = 1600; правая часть |5900 − 4300| = 1600. OK.
• Для x = 9100: левая часть 2|6700 − 9100| = 2|−2400| = 4800; правая часть |9100 − 4300| = 4800. OK.

Ответ: x = 5900 или x = 9100.

3. Контекстная цепочка для развития функциональной грамотности обучающихся

Контекстная формулировка (модель на линии и расстояния):

• Представим прямую дорожку. Точки A и C на оси находятся в положениях x = 4300 м и x = 6700 м соответственно. Пусть положение курьера на дороге обозначается координатой x (в метрах). Условие задачи: расстояние от текущего положения до точки C, умноженное на 2, равно расстоянию до точки A.
• Математическая запись: 2·|6700 − x| = |x − 4300|.
• Что здесь происходит в реальном смысле:
  • |6700 − x| — это расстояние курьера до точки C (6700 м).
  • |x − 4300| — расстояние до точки A (4300 м).
  • Уравнение говорит: если курьер находится на месте x, тогда двойное расстояние до C равно расстоянию до A.
• Как это развивает функциональную грамотность:
  • Применение абсолюта к реальным ситуациям: понимание того, что расстояние всегда неотрицательно и не зависит от направления движения.
  • Интерпретация переменной x как положения на линии и связь алгебраических выражений с геометрической концепцией расстояния.
  • Навык анализа условий: выбирать правильный случай в зависимости от того, с каких сторон относительно точек A и C находится курьер.
  • Практическая проверка: проверка решений на соответствие условию уравнения и физического смысла.

Дополнительные вопросы к практическому закреплению (для работы учащихся):

• Что произойдет с решениями, если изменить условие на 2|6700 − x| = 3|x − 4300|? Как изменятся корни?
• Какую роль играет каждое критическое значение x = 4300 и x = 6700 в геометрическом смысле формулы?
• Можете ли вы придумать другую реальную задачку, где встречаются подобные модули расстояний, и сформулировать её алгебраически?

Если нужно, могу привести аналогичную контекстную задачу с другими числами или адаптировать под конкретный класс и требования.