Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 3, а площадь боковой грани равна площади основания

Решение

• Обозначим сторону основания квадрата через a. Тогда площадь основания B = a^2.
• Пирамида правильная, высота h = 3. Лateral-грани — четыре равных треугольника с основанием a и высотой внутри треугольника l (slant height). Площадь одной боковой грани: A1 = (1/2) * a * l.
• Связь l с h и a: если опускать перпендикуляр из вершины к центру основания O, то OM = a/2 (половина стороны квадрата). В треугольнике AOM гипотенуза AM = l, катеты AO = h и OM = a/2. Значит, l^2 = h^2 + (a/2)^2.
• Условие задачи: площадь боковой грани равна площади основания. То есть A1 = B, т.е. (1/2) a l = a^2. Делим на a > 0: (1/2) l = a, значит l = 2a.
• Подставим l в соотношение l^2 = h^2 + (a/2)^2: (2a)^2 = h^2 + (a/2)^2 4a^2 = h^2 + a^2/4 умножим на 4: 16a^2 = 4h^2 + a^2 15a^2 = 4h^2 a^2 = (4h^2)/15.
• Подставим h = 3: a^2 = 4 * 9 / 15 = 36/15 = 12/5.

Теперь найдем площадь полного поверхности S:

• База: B = a^2 = 12/5.
• Общая боковая поверхность: L = 4 раз одинаковые боковые грани. Каждая имеет площадь (1/2) a l, итого L = 4 * (1/2) a l = 2 a l. Но l = 2a, значит L = 2a * 2a = 4a^2 = 4 * (12/5) = 48/5.
• Полная площадь поверхности: S = B + L = 12/5 + 48/5 = 60/5 = 12.

Ответ: площадь полной поверхности равна 12 квадратных единиц.