найди наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=7-x² на отрезке [-1;2]

Задача: найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 7 − x^2 на отрезке [-1, 2].

1. Виды решения

• Метод через производную.
• Графический/квадратичный метод (вершина параболы).

2. Решение (пошагово)

Метод 1. Производная

• f'(x) = d(7 − x^2)/dx = −2x.
• Ключевая точка (критическая): f'(x) = 0 при x = 0. Это внутри отрезка [-1, 2].
• Значение в критической точке: f(0) = 7.
• Значения на концах отрезка:
  • f(-1) = 7 − (−1)^2 = 7 − 1 = 6
  • f(2) = 7 − (2)^2 = 7 − 4 = 3
• Сравнивая: максимум равен 7 при x = 0; минимум равен 3 при x = 2.

Метод 2. Вершина параболы

• f(x) = 7 − x^2 — парабола, открытая вниз, вершина в точке x = 0, f(0) = 7. Это максимальное значение на любом промежутке, содержащем x = 0.
• Минимум на отрезке достигается в одном из концов: f(-1) = 6, f(2) = 3. Наименьшее из них — 3, при x = 2.

3. Ответ

• Максимальное значение: 7, достигается в точке x = 0.
• Минимальное значение: 3, достигается в точке x = 2.

Дополнительно: диапазон значений функции на отрезке [-1, 2] составляет [3, 7].