Постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра O: на 120° по часовой стрелке

Цель: понять и построить отрезок A1B1, получившийся из AB вращением вокруг центра O на 120° по часовой стрелке. Пусть A1 и B1 — изображения точек A и B после вращения окружного центра O на 120° по часовой стрелке. Ниже два варианта решения: детальный пошаговый конструктор и более компактная альтернатива через правильный шестиугольник. Вариант 1. Пошаговая конструкция двумя шагами по 60° (надёжно подходит для средней школы) 1) Постройте окружность к с центром O и радиусом OA. Это круга, на котором будут лежать точки, получившиеся после вращения A вокруг O. 2) Постройте равносторонний треугольник OAX на стороне OA, выбрав сторону так, чтобы ∠AOX = 60° по часовой стрелке. Как сделать: - Постройте две окружности радиуса OA: центрами O и A. - Их две общие точки дадут две возможные вершины X такого равностороннего треугольника. Выберите ту вершину, которая соответствует вращению по часовой стрелке. 3) Соедините O—X и найдите точку A60 — точку на окружности к, лежащую на луче OX (пересечение прямой OX с окружностью к). Это изображение A после поворота на 60° по часовой стрелке вокруг O. 4) Повторите тот же принцип ещё раз, но теперь базой возьмите OA60: - Постройте равносторонний треугольник OAX2 на стороне OA60, с ∠AOX2 = 60° по часовой стрелке. Это можно сделать аналогично пунктам 2. - Постройте прямую OX2 и найдите A120 как пересечение этой прямой с окружностью к (то есть точку на луче OX2 на расстоянии OA от O). 5) Теперь A1 = A120 — это изображение A после поворота на 120° по часовой стрелке вокруг O. 6) Повторите тот же двухступенчатый алгоритм для точки B (получите B60 и затем B120, и, как итог, B1 = B120). 7) Постройте отрезок A1B1. Замечания: - Повторяйте шаги для A и для B одинаково, но ориентируйтесь на направление поворота по часовой стрелке в каждом шаге, чтобы итоговый поворот был именно 120°. - В результате OA1 = OA и ∠AOA1 = 120° по часовой стрелке (то же для B: OB1 = OB и ∠BOB1 = 120° по часовой стрелке). Вариант 2. Альтернатива через вписанный регулярный шестиугольник (быстрее, если удобно работать с круговой симметрией) 1) Постройте окружность с центром O и радиусом OA. Это та же окружность, на которой лежат A, A60, A120 и т.д. 2) Постройте вписанный в эту окружность правильный шестиугольник. Вершины шестиугольника по кругу соответствуют шагам по 60° вокруг O. 3) Если взять начальную точку A на окружности, то A60 будет второй вершиной после A по часовой стрелке, A120 — третьей вершиной после A по часовой стрелке. Соответственно: - A1 — вторая вершина после A по часовой стрелке вокруг O. - B1 — аналогично для точки B. 4) Соедините A1 и B1. Примечание по выбору ориентации: если на рисунке выбрать сторону на 60° в противоположную сторону, получится вращение против часовой стрелки. Учитывайте указанный вами направление – по часовой стрелке на 120°, и выбирайте соответствующие вершины. Кратко о проверке (для уверенности в результате): - OA1 = OA и OB1 = OB. - ∠AOA1 = ∠BOB1 = 120° (по часовой стрелке). - Отрезок A1B1 — искомый результат вращения AB на 120° вокруг O. Если хотите, могу привести численную формулу для координат: в системе координат с O как origin, если задать векторы vA = A − O и vB = B − O, то после вращения на -120° (по градусам) получаем A1 = O + R(-120°)·vA, B1 = O + R(-120°)·vB, где R(-120°) = [[cos(-120°), -sin(-120°)], [sin(-120°), cos(-120°)]] = [[-1/2, √3/2], [-√3/2, -1/2]]. Но для учебной задачи в формате «постройте» предпочтительнее именно геометрическая конструкция выше.