постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра O: на 120° по часовой стрелке

Цель: понять и построить отрезок A1B1, получившийся из AB вращением вокруг центра O на 120° по часовой стрелке.

Пусть A1 и B1 — изображения точек A и B после вращения окружного центра O на 120° по часовой стрелке. Ниже два варианта решения: детальный пошаговый конструктор и более компактная альтернатива через правильный шестиугольник.

Вариант 1. Пошаговая конструкция двумя шагами по 60° (надёжно подходит для средней школы)

1. Постройте окружность к с центром O и радиусом OA. Это круга, на котором будут лежать точки, получившиеся после вращения A вокруг O.

2. Постройте равносторонний треугольник OAX на стороне OA, выбрав сторону так, чтобы ∠AOX = 60° по часовой стрелке. Как сделать:

   • Постройте две окружности радиуса OA: центрами O и A.
   • Их две общие точки дадут две возможные вершины X такого равностороннего треугольника. Выберите ту вершину, которая соответствует вращению по часовой стрелке.

3. Соедините O—X и найдите точку A60 — точку на окружности к, лежащую на луче OX (пересечение прямой OX с окружностью к). Это изображение A после поворота на 60° по часовой стрелке вокруг O.

4. Повторите тот же принцип ещё раз, но теперь базой возьмите OA60:

   • Постройте равносторонний треугольник OAX2 на стороне OA60, с ∠AOX2 = 60° по часовой стрелке. Это можно сделать аналогично пунктам 2.
   • Постройте прямую OX2 и найдите A120 как пересечение этой прямой с окружностью к (то есть точку на луче OX2 на расстоянии OA от O).

5. Теперь A1 = A120 — это изображение A после поворота на 120° по часовой стрелке вокруг O.

6. Повторите тот же двухступенчатый алгоритм для точки B (получите B60 и затем B120, и, как итог, B1 = B120).

7. Постройте отрезок A1B1.

Замечания:

• Повторяйте шаги для A и для B одинаково, но ориентируйтесь на направление поворота по часовой стрелке в каждом шаге, чтобы итоговый поворот был именно 120°.
• В результате OA1 = OA и ∠AOA1 = 120° по часовой стрелке (то же для B: OB1 = OB и ∠BOB1 = 120° по часовой стрелке).

Вариант 2. Альтернатива через вписанный регулярный шестиугольник (быстрее, если удобно работать с круговой симметрией)

1. Постройте окружность с центром O и радиусом OA. Это та же окружность, на которой лежат A, A60, A120 и т.д.

2. Постройте вписанный в эту окружность правильный шестиугольник. Вершины шестиугольника по кругу соответствуют шагам по 60° вокруг O.

3. Если взять начальную точку A на окружности, то A60 будет второй вершиной после A по часовой стрелке, A120 — третьей вершиной после A по часовой стрелке. Соответственно:

   • A1 — вторая вершина после A по часовой стрелке вокруг O.
   • B1 — аналогично для точки B.

4. Соедините A1 и B1.

Примечание по выбору ориентации: если на рисунке выбрать сторону на 60° в противоположную сторону, получится вращение против часовой стрелки. Учитывайте указанный вами направление – по часовой стрелке на 120°, и выбирайте соответствующие вершины.

Кратко о проверке (для уверенности в результате):

• OA1 = OA и OB1 = OB.
• ∠AOA1 = ∠BOB1 = 120° (по часовой стрелке).
• Отрезок A1B1 — искомый результат вращения AB на 120° вокруг O.

Если хотите, могу привести численную формулу для координат: в системе координат с O как origin, если задать векторы vA = A − O и vB = B − O, то после вращения на -120° (по градусам) получаем A1 = O + R(-120°)·vA, B1 = O + R(-120°)·vB, где R(-120°) = [[cos(-120°), -sin(-120°)], [sin(-120°), cos(-120°)]] = [[-1/2, √3/2], [-√3/2, -1/2]]. Но для учебной задачи в формате «постройте» предпочтительнее именно геометрическая конструкция выше.