Трое рабочих в цеху изготавливают одинаковые детали. Первый рабочий изготовил 800 деталей, второй - 1000 деталей, а третий - 900 деталей. Вероятность того, что деталь изготовлена…

Цель: понять решение пошагово.

Задача сводится к разбору выборки 70 деталей из смеси трех рабочих с разными долями и вероятностями брака.

1. Обозначим данные

• Число деталей от каждого рабочего: n1 = 800, n2 = 1000, n3 = 900; всего N = 2700.

• Вероятности брака у каждого рабочего: p1 = 0.035, p2 = 0.025, p3 = 0.03.

• Вероятности выбрать бракованную деталь в общем случае для случайной детали: Q = (n1 p1 + n2 p2 + n3 p3) / N = (800·0.035 + 1000·0.025 + 900·0.03) / 2700 = (28 + 25 + 27) / 2700 = 80 / 2700 = 4/135 ≈ 0.02962963.

• Каждая деталь с браком может происходить от любого рабочего. Вероятности, что бракующая деталь принадлежит конкретному рабочему, при условии, что деталь бракована, равны r1 = (n1/N) p1 = (800/2700)·0.035 ≈ 0.01037037 r2 = (n2/N) p2 = (1000/2700)·0.025 ≈ 0.00925926 r3 = (n3/N) p3 = (900/2700)·0.03 = 0.01

2. Вероятность того, что случайно выбранная бракованная деталь принадлежит конкретному рабочему, зная что она бракована:

• p1' = r1 / Q, p2' = r2 / Q, p3' = r3 / Q.
• Здесь Q = r1 + r2 + r3.

Вычислим p3':

• Q = 0.01037037 + 0.00925926 + 0.01 = 0.02962963.
• p3' = r3 / Q = 0.01 / 0.02962963 = 27/80 = 0.3375.

3. Условие задачи формулируется как: из 70 деталей оказалось ровно 2 бракованные. Какова вероятность, что обе бракованные детали изготовлены третьим рабочим?

Условная модель: если X — число бракованных деталей в выборке из 70, то X ~ Binomial(70, Q). Учитывая X = 2, количество бракованных, пришедших от каждого рабочего, распределено как многомерный биномиальный разложение с параметрами (2; p1', p2', p3'). Вероятность того, что обе бракованные пришли от третьего рабочего, равна (p3')^2.

Следовательно, P(обе бракованные от 3-го) = (p3')^2 = (27/80)^2 = 729/6400 ≈ 0.11390625.

Округляем до сотых: Ответ: 0.11.