Дробная производная константы равна

Задача в разном виде трактуется по-разному в зависимости от того, какое определение дробной производной применяется. Ниже приведу три наиболее распространённых подхода и результат для константы C (функции f(t) ≡ C). Дополнение: для всех примеров рассматриваем 0 < α < 1 и t > 0. 1) Riemann–Liouville дробная производная (RL) - Определение (для 0 < α < 1): D^α_RL f(t) = (1/Γ(1−α)) d/dt ∫_0^t (t−τ)^(−α) f(τ) dτ. - Для константы f(τ) = C: - ∫_0^t (t−τ)^(−α) C dτ = C ∫_0^t u^(−α) du = C t^(1−α)/(1−α). - Затем дифференцируем по t: d/dt [C t^(1−α)/(1−α)] = C t^(−α). - Умножаем на 1/Γ(1−α): D^α_RL C(t) = C t^(−α) / Γ(1−α). - Итого: дробная производная константы по RL-определению не нулевая и имеет зависимость от t: D^α_RL C(t) = C / [Γ(1−α) t^α], для t > 0. 2) Caputo дробная производная - Определение (для 0 < α < 1): D^α_C f(t) = (1/Γ(1−α)) ∫_0^t (t−τ)^(−α) f′(τ) dτ. - Для константы f(t) = C: f′(τ) = 0. - Следовательно: D^α_C C(t) = 0. - Итого: константа имеет нулевую Caputo-дробную производную (0, для 0 < α < 1). 3) Grunwald–Letnikov дробная производная (GL) - Определение (для 0 < α < 1): D^α_GL f(t) = lim_{h→0} h^(−α) ∑_{k=0}^{⌊t/h⌋} (−1)^k C(α, k) f(t − k h), где C(α, k) — обобщённые биномиальные коэффициенты. - Для f(t) = C константа сумма даёт C·∑_{k} (−1)^k C(α, k), и при пределе h→0 результат совпадает с RL-результатом: D^α_GL C(t) = C t^(−α) / Γ(1−α) (при t > 0). - Итого GL обычно даёт тот же ответ, что и RL, для достаточно гладких функций. Итак, резюмируя: - В большинстве учебников и при RL-определении: дробная производная константы равна C t^(−α) / Γ(1−α). - В Caputo-определении: дробная производная константы равна 0 (для 0 < α < 1). Пример численно: - Пусть C = 5 и α = 0.5, t > 0. RL: D^0.5_RL 5(t) = 5 / [Γ(1−0.5) √t] = 5 / [Γ(0.5) √t] = 5 / (√π √t) ≈ 5 / (1.772 √t) ≈ 2.824 / √t. Caputo: D^0.5_Caputo 5(t) = 0. Как выбрать подход? - Если задача дана в курсе, где используют RL-определение, ответ будет зависеть от t: C t^(−α)/Γ(1−α). - Если задача по дифференциальным уравнениям в духе физики/инженерии и применяется Caputo-определение, константа даёт нуль. Если хочешь, могу привести ещё более подробное разборы с конкретным α и графиком зависимости от t.