Отрезок AB = 8 касается окружности радиуса 6 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Задача решается через свойство мощности точки к окружности и факт, что прямая AO проходит через центр.

Дано: радиус окружности r = 6, AB — касательная к окружности в точке B, AB = 8. Точка D — пересечение окружности с прямой AO (D лежит между A и O).

Решение (мощность точки A):

• Пусть прямая AO пересекает окружность в точках D и E (D между A и O, E с другой стороны от O). Тогда по свойству мощности точки A: AB^2 = AD · AE.
• Так как AO проходит через центр, точки D и E лежат на линии AO на расстояниях r от O, следовательно OD = OE = r = 6. Тогда: AD = AO − r и AE = AO + r.
• Подставим в формулу мощности: AB^2 = (AO − r)(AO + r) = AO^2 − r^2. 64 = AO^2 − 36 ⇒ AO^2 = 100 ⇒ AO = 10.
• Найдём AD: AD = AO − r = 10 − 6 = 4.

Ответ: AD = 4.

Примечание (проверка за кадром): можно проверить геометрически через координаты, например положив центр O в начале координат, B на (6,0), касательную AB на x = 6 и A на (6,8). Прямая AO имеет уравнение y = (4/3)x, пересечение с окружностью x^2 + y^2 = 36 даёт D с координатами (18/5, 24/5), расстояние AD получается равным 4.