В основании прямой призмы лежит тупоугольный треугольник со сторонами 5 и 10 и площадью (25 корней из 3)/ 2 . Найди площадь наибольшей боковой грани призмы, если боковое ребро…

Пояснение и решение:

Цель: понять и найти площадь наибольшей боковой грани прямой призмы.

1. Найдём третий боковой стороне основания.

• Пусть основание треугольника имеет стороны a = 5 и b = 10, и угол между ними γ.

• Площадь основания дана: S = (25√3)/2.

• По формуле площади треугольника: S = (1/2)ab sin γ. 2S/(ab) = sin γ → sin γ = (2*(25√3)/2)/(5*10) = (25√3)/50 = √3/2.

• Значения синуса равны √3/2 при γ = 60° или γ = 120°. Треугольник задан как тупоугольный, значит γ = 120°.

• Теперь найдём длину третьей стороны c против угла γ между сторонами 5 и 10: cos γ = cos 120° = -1/2. По закону косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos γ = 5^2 + 10^2 - 2·5·10·(-1/2) = 25 + 100 + 50 = 175. Следовательно, c = √175 = 5√7.

Итак, стороны основания треугольника: 5, 10 и 5√7, а угол между 5 и 10 равен 120°.

2. Параметры призмы.

• Боковое ребро призмы (высота призмы) дано: h = 3√7.
• Боковые грани призмы — прямоугольники со сторонами:
  • 5 и h → площадь A1 = 5 · h = 5 · 3√7 = 15√7.
  • 10 и h → площадь A2 = 10 · h = 10 · 3√7 = 30√7.
  • 5√7 и h → площадь A3 = (5√7) · (3√7) = 15 · 7 = 105.

3. Найдём наибольшую боковую грань.

• Значения площадей боковых граней: 15√7, 30√7, 105.
• 105 больше, чем 30√7 (примерно 79.4) и чем 15√7 (примерно 39.7).

Ответ: площадь наибольшей боковой грани призмы равна 105 (кв. единиц).