Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 2 и 11

Задача требует найти высоту усечённой четырёхугольной пирамиды (правой усечённой пирамиды) с основаниями сторон 11 и 2, если боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°.

Пояснение и решение шаг за шагом:

1. Что известно и что значит “правильная усечённая пирамиды”:

• Нижнее основание — квадрат со стороны a = 11.
• Верхнее основание — квадрат со стороны b = 2.
• Основания центрируются друг над другом, ось пирамиды перпендикулярна основаниям (правый усечённый конус/пирамиды).
• Боковое ребро соединяет соответствующие вершины нижнего и верхнего квадратов.

2. Горизонтальное смещение между соответствующими вершинами:

• Рассмотрим пару соответствующих вершин: нижняя вершина (a/2, a/2, 0) и верхняя вершина (b/2, b/2, h).
• Горизонтальное расстояние между ними равно расстоянию между точками (a/2, a/2) и (b/2, b/2) в плоскости.
• По компонентам: delta x = (a/2 − b/2) = (a − b)/2, delta y = (a/2 − b/2) = (a − b)/2.
• Горизонтальная диагональная расстояние d = sqrt( (Δx)^2 + (Δy)^2 ) = sqrt(2 * ((a − b)/2)^2) = (a − b)/√2.

Подставим a = 11, b = 2:

• a − b = 9, поэтому d = 9/√2 = 9√2/2.

3. Связь угла между боковым ребром и основанием с высотой:

• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Рассматривая проекцию бокового ребра на плоскость основания, образуется прямоугольник с горизонтальным смещением d и вертикальным подъёмом h (высотой пирамиды).
• В таком треугольнике угол между ребром и плоскостью равен углу между гипотенузой (самим боковым ребром) и её проекцией на плоскость (длиной d). Следовательно tan(угол) = противолежащий катет / прилежащий катет = h / d.
• Так как угол равен 45°, tan 45° = 1, значит h = d.

4. Вычисление высоты:

• h = d = 9/√2 = 9√2/2.

Ответ: высота пирамиды h = 9√2/2 ≈ 6.36.