2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 18см. Боковая грань образует угол 30° с плоскостью основания, найти площадь поверхности пирамиды.

Задача: В правильной квадратной пирамиде высота h = 18 см. Боковая грань образует угол φ = 30° с плоскостью основания. Найти площадь поверхности пирамиды.

Разбор и решение

1. Обозначения

• Пусть основание — квадрат со стороны a.
• Высота пирамиды h = 18 см.
• Латеральная грань — равнобедренный треугольник с основанием a.
• Точка M — середина основания соответствующей боковой стороны; LM — высота латеральной грани (лат. высота треугольника), равна слант-листу l (slant height).
• AO — высота пирамиды вBase center O; AO = h.
• OM — расстояние от центра основания до середины стороны; OM = a/2.

2. Связь угла между боковой гранью и плоскостью основания Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя линиями, перпендикулярными линии пересечения плоскостей. Для боковой грани и основания эта прямая пересечения — боковая сторона BC, а искомый угол равен углу между MA (в боковой грани, перпен to BC) и MO (в основании, перпен to BC). В треугольнике AOM этот угол равен углу φ.

В треугольнике AOM:

• AO = h = 18 см,
• OM = a/2,
• MA = l (слант-лифт) и он образует гипотенузу в этом прямоугольном треугольнике (OA ⟂ OM).

tan φ = противоположный/прилежащий = AO / OM = h / (a/2) = 2h / a.

3. Найдем сторону основания a tan 30° = 1/√3 = 2h / a = 2·18 / a = 36 / a. Следовательно, a = 36√3 см.

4. Найдем слант-лифт l В треугольнике AOM применяем теорему Пифагора: l^2 = AO^2 + (OM)^2 = h^2 + (a/2)^2. a/2 = (36√3)/2 = 18√3, значит l^2 = 18^2 + (18√3)^2 = 324 + 972 = 1296, откуда l = 36 см.

5. Площадь поверхности

• Площадь основания: S_base = a^2 = (36√3)^2 = 3888 см^2.
• Площадь боковых поверхностей: у правильной квадратной пирамиды их четыре, каждая имеет основание a и высоту l, поэтому площадь одной боковой грани = (1/2)·a·l. Суммарная площадь боковых граней: S_lat = 4 · (1/2 · a · l) = 2 a l. Подставим a и l: S_lat = 2 · (36√3) · 36 = 2592√3 см^2.

Итого площадь поверхности: S = S_base + S_lat = 3888 + 2592√3 см^2.

6. Приближённое значение √3 ≈ 1.7320508, значит S ≈ 3888 + 2592·1.732 ≈ 3888 + 4489.5 ≈ 8377.5 см^2.

Ответ Точная площадь поверхности пирамиды: S = 3888 + 2592√3 см^2 (примерно 8.38·10^3 см^2).