Чтобы найти площадь сечения конуса, проведенного через образующие под углом 60°, нам сначала нужно найти радиус основания конуса.
Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°, то радиус конуса (r) будет прилежащим катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой (h), радиусом (r) и образующей (l). Угол между образующей и высотой 90° (потому что высота перпендикулярна основанию), а угол между образующей и радиусом 30°.
Используем основное тригонометрическое отношение для нахождения радиуса:
[
\cos(30°) = \frac{r}{l}.
]
Но поскольку образующая составляет с основанием угол 30°, то можно написать следующее:
[
\cos(30°) = \frac{r}{h},
]
Используя значение косинуса 30°, которое равно (\sqrt{3}/2), получаем:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{6},
]
Откуда находим радиус r:
[
r = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}.
]
Сечение конуса, проведенное через образующие, угол между которыми равен 60°, представляет собой равносторонний треугольник, так как углы при вершине конуса будут равны, и образующие равны между собой. Сторона этого треугольника будет равна длине образующей.
Используем теорему Пифагора для нахождения образующей l:
[
l^2 = r^2 + h^2.
]
Подставляем значения r и h:
[
l^2 = (3\sqrt{3} \text{ см})^2 + (6 \text{ см})^2,
]
[
l^2 = 27 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2,
]
[
l^2 = 63 \text{ см}^2,
]
[
l = \sqrt{63} \text{ см} = 3\sqrt{7} \text{ см}.
]
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2,
]
где a — сторона треугольника, которая в нашем случае равна образующей l.
Подставляем значение l:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4}(3\sqrt{7} \text{ см})^2,
]
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 \cdot 7 \text{ см}^2,
]
[
S = 63 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2,
]
[
S = \frac{63 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2.
]
