Для решения этой задачи воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности в треугольнике:
R = (a * b * c) / (4 * S),
где R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.
Для начала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
где p - полупериметр треугольника, равный (a + b + c) / 2.
Подставим значения в формулу:
a = AB = 6√2
b = BC = a
c = AC
p = (a + b + c) / 2 = (6√2 + 6√2 + c) / 2 = (12√2 + c) / 2 = 6√2 + (c/2)
Так как угол C равен 45°, то треугольник АВС - прямоугольный и сторона AC будет равна стороне AB:
c = AC = AB = 6√2
Теперь можем найти p:
p = 6√2 + (6√2 / 2) = 6√2 + 3√2 = 9√2
А теперь можем найти площадь S:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = √((9√2 * (9√2 - 6√2) * (9√2 - 6√2) * (9√2 - 6√2)) = √((9√2 * 3√2 * 3√2 * 3√2) = √(9^2 * (√2)^2 * (√3)^4) = √(9^2 * 2 * 3^2) = √(81 * 2 * 9) = √(1458) = 38
Теперь можем найти радиус описанной окружности:
R = (a * b * c) / (4 * S) = (6√2 * 6√2 * 6√2) / (4 * 38) = (36 * 36 * 6) / 152 = 7776 / 152 = 51
