Тест на тему Тригонометрические уравнения

Тест по теме "Тригонометрические уравнения" (11 класс)

Вопрос 1: Решите уравнение: ( \sin x = \frac{1}{2} ). В каком из следующих интервалов находятся все решения этого уравнения?
a) ( [0; \pi] )
b) ( [0; 2\pi] )
c) ( [-\pi; \pi] )
d) ( [0; 4\pi] )

Ответ: b) ( [0; 2\pi] )
Объяснение: Уравнение ( \sin x = \frac{1}{2} ) имеет решения ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ) и ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ), где ( k ) - целое число. В интервале ( [0; 2\pi] ) находятся оба решения.

Вопрос 2: Найдите решение уравнения: ( \cos 2x = -\frac{1}{2} ). Какое из следующих выражений соответствует его решениям?
a) ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi )
b) ( x = \frac{\pi}{3} + k\pi )
c) ( x = \frac{4\pi}{3} + k\pi )
d) ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi )

Ответ: a) ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi )
Объяснение: Из формулы двойного угла ( \cos 2x = -\frac{1}{2} ) следует, что ( 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ) или ( 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ), и, следовательно, ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi ).

Вопрос 3: Решите уравнение: ( \tan x = 1 ). Какое из следующих утверждений верно?
a) ( x = \frac{\pi}{4} + k\pi )
b) ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi )
c) ( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi )
d) ( x = k\pi )

Ответ: a) ( x = \frac{\pi}{4} + k\pi )
Объяснение: Уравнение ( \tan x = 1 ) имеет все решения вида ( x = \frac{\pi}{4} + k\pi ), где ( k ) - целое число, так как тангенс имеет период ( \pi ).

Этот тест поможет школьникам проверить свои знания по теме "Тригонометрические уравнения".