Тест на тему поворот осей координат

Вот тест по математике для 11 класса на тему "Поворот осей координат".

Тест: Поворот осей координат

Вопросы:

1. Какое уравнение круга с центром в начале координат радиусом r в стандартной системе координат?
   a) (x^2 + y^2 = r^2)
   b) (x^2 + y^2 + r = 0)
   c) (xy = r)
   d) ((x - r)^2 + (y - r)^2 = 0)

2. При повороте точек на угол α против часовой стрелки, какое уравнение связывает новые координаты (x') и (y') с исходными (x) и (y)?
   a) (x' = x \cos(\alpha) + y \sin(\alpha)), (y' = -x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha))
   b) (x' = x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha)), (y' = x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha))
   c) (x' = -x \cos(\alpha) + y \sin(\alpha)), (y' = x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha))
   d) (x' = x \cos(\alpha) + y \cos(\alpha)), (y' = x \sin(\alpha) + y \sin(\alpha))

3. Каковы новые координаты точки (A(3, 4)) при повороте на 90° вокруг начала координат?
   a) ((4, -3))
   b) ((-3, 4))
   c) ((-4, 3))
   d) ((3, -4))

4. Какой угол поворота соответствует преобразованию матрицы
   [\begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}]?
   a) 45°
   b) 90°
   c) 180°
   d) 270°

5. Если точка (B(1, -2)) поворачивается на 180° вокруг начала координат, каковы будут её новые координаты?
   a) ((-1, 2))
   b) ((1, 2))
   c) ((-1, -2))
   d) ((1, -2))

6. Какое из следующих уравнений представляет собой новую прямую после поворота на 45° уравнения (y = 2x + 3)?
   a) (y = (2\sqrt{2})x + 3)
   b) (y \approx 2.414x + 1.585)
   c) (y = x + 2)
   d) (y = 0.5x + 3)

7. Какой уравнение окружности, полученной при повороте окружности ((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4) на 90°?
   a) ((y - 2)^2 + (x + 3)^2 = 4)
   b) ((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4)
   c) ((x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4)
   d) ((y + 2)^2 + (x - 3)^2 = 4)

8. Каковы новые координаты точки (C(-5, 8)) после поворота на 180°?
   a) ((5, -8))
   b) ((-5, -8))
   c) ((5, 8))
   d) ((8, -5))

9. Если точка (D(2, 5)) после поворота на 90° оказывается в точке ((y', -x')) где (y' = 2, x' = 5). Каковы были её начальные координаты?
   a) ((5, 2))
   b) ((2, 4))
   c) ((5, -2))
   d) ((2, -5))

10. Укажите матрицу поворота на угол 30° против часовой стрелки.
    a) (\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix})
    b) (\begin{pmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 \ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix})
    c) (\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix})
    d) (\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix})

Ответы:

1. a) (x^2 + y^2 = r^2)
2. a) (x' = x \cos(\alpha) + y \sin(\alpha)), (y' = -x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha))
3. a) ((4, -3))
4. b) 90°
5. a) ((-1, 2))
6. b) (y \approx 2.414x + 1.585)
7. a) ((y - 2)^2 + (x + 3)^2 = 4)
8. a) ((5, -8))
9. a) ((5, 2))
10. a) (\begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix})

Надеюсь, этот тест окажется полезным для подготовки!