Тест на тему Технологии обратного проектирования

Ниже представлен тест по алгебре для 9 класса на тему «Функции». Тип вопросов: открытый. Количество вопросов: 20. Включены ответы.

Инструкция: записывайте ответы и кратко показывайте расчёты там, где это требуется. В конце приведён пример решения (ответы) к каждому вопросу.

Задания

1. Найдите значение функции f при f(x) = 4x − 7 в точке x = 9. Что получится?

2. Определите область определения функции f(x) = sqrt(2x + 3).

3. Найдите область значений функции f(x) = x^2 − 5x + 6.

4. Определите, является ли функция f(x) = x^3 − x четной, нечетной или не принадлежит ни к одной группе.

5. Найдите обратную функцию к f(x) = 2x − 5.

6. Пусть f(x) = 2x + 1 и g(x) = x − 3. Найдите (f ∘ g)(x) и (g ∘ f)(x).

7. Найдите корни функции f(x) = x^2 − 9.

8. Определите область определения функции f(x) = sqrt(3x − 2) + 1/(x − 4).

9. Для функции f(x) = 3x^2 − 12x + 5 на отрезке [0, 4] определите, на каких подотрезках функция возрастает и на каких убывает.

10. Найдите вертикальную асимптоту и косую (обобщённую) горизонтальную (или косую) асимптоту рациональной функции f(x) = (2x^2 − 3)/(x − 5).

11. Найдите обратную функцию к f(x) = (x − 1)/(x + 2) и укажите область определения обратной функции.

12. Охарактеризуйте преобразование графика f(x) = x^2 в график f1(x) = (x − 3)^2 + 4: какое смещение по оси OX и по оси OY произошло?

13. Найдите вершину параболы, заданной f(x) = x^2 − 6x + 5.

14. Решите уравнение f(x) = 12, где f(x) = x^2 + 2x.

15. Вычислите значения f(1) и f(4) для функции f(x) = sqrt(x) + 1/x, при условии x > 0.

16. Пусть f(x) = sqrt(x), g(x) = x − 7. Найдите (g ∘ f)(x) и задайте область определения результата.

17. Опишите влияние параметра a на график функции f_a(x) = a|x|: как меняется график при разных знаках и значениях a?

18. Определите непрерывность функции f(x) = 1/(x^2 + 1) на всей вещественной оси.

19. Опишите монотонность функции f(x) = ln x на её естественной области определения (0, ∞).

20. Определите область определения функции f(x) = log_2(x − 1) и найдите значение f(4).

Ответы

1. f(9) = 4·9 − 7 = 36 − 7 = 29.

2. sqrt: 2x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3/2. Область: [−3/2, +∞).

3. f(x) = x^2 − 5x + 6. Это парабола с минимумом при x = 5/2. Значение минимума: (5/2)^2 − 5·(5/2) + 6 = 25/4 − 25/2 + 6 = −1/4. Следовательно, область значений: [−1/4, +∞).

4. f(−x) = (−x)^3 − (−x) = −x^3 + x = −(x^3 − x) = −f(x). Следовательно, функция нечетная.

5. y = 2x − 5. Обратная функция: f^−1(y) = (y + 5)/2. То же в виде функции от x: f^−1(x) = (x + 5)/2. Область значения исходной функции является областью определения обратной, т.е. весь R.

6. (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 = 2x − 5. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (2x + 1) − 3 = 2x − 2.

7. x^2 − 9 = 0 ⇒ x = −3 или x = 3.

8. 3x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3; x ≠ 4. Область: [2/3, ∞) \ {4}.

9. f'(x) = 6x − 12. На [0, 4]: ниже нуля на [0, 2), равен нулю в x = 2, положителен на (2, 4]. Значит: убывает на [0, 2], возрастает на [2, 4].

10. Вертикальная асимптота: x = 5. Деление (2x^2 − 3)/(x − 5) даёт обобщённую асимптоту y = 2x + 10 (поглядели на частное). Так что косая асимптота y = 2x + 10.

11. y = (x − 1)/(x + 2) ⇒ x = (1 + 2y)/(1 − y). Обратная функция: f^−1(y) = (1 + 2y)/(1 − y). Область определения обратной: y ≠ 1; область значений исходной функции: все значения y ≠ 1, т.е. R {1}. Значение обратной: f^−1(x) = (1 + 2x)/(1 − x), x ≠ 1.

12. f1(x) = (x − 3)^2 + 4 получается из f(x) = x^2 сдвигом: вправо на 3 и вверх на 4.

13. Вершина параболы f(x) = x^2 − 6x + 5: (3, −4).

14. x^2 + 2x = 12 ⇒ x^2 + 2x − 12 = 0 ⇒ x = −1 ± √13. Приближённо x ≈ 2,606 или x ≈ −4,606.

15. f(1) = sqrt(1) + 1/1 = 1 + 1 = 2. f(4) = sqrt(4) + 1/4 = 2 + 0.25 = 2.25.

16. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = f(x) − 7 = sqrt(x) − 7. Область: x ≥ 0.

17. f_a(x) = a|x|: график V-образный, вершина в (0,0). Если a > 0, график раскрывается вверх (значение минимальное). Чем больше |a|, тем круче боковые ветви; если a < 0, график перевёрнут вверх вниз (вершина остаётся в (0,0); график достигает максимума в x = 0 равного 0 и опускается вниз по бокам). При a = 0 график становится нулевой полосой.

18. 1/(x^2 + 1) непрерывна на всей R, так как знаменатель всегда положителен и не обращается в ноль.

19. f(x) = ln x на (0, ∞) строго возрастает (производная 1/x > 0). Значит функция возрастает на своей области определения.

20. f(x) = log_2(x − 1): область определения x − 1 > 0 ⇒ x > 1. Значение в точке x = 4: f(4) = log_2(3) ≈ 1.585.

Если нужна, могу адаптировать задания под конкретные требования вашего учебника или дать более подробные решения по каждому пункту.

Тест по математике: Сложение и вычитание в пределах 1000 (2 класс)

Инструкция: В каждом вопросе выберите один правильный ответ.

Вопрос 1. Что получится, если сложить 450 и 300?
a) 650
b) 750
c) 850

Ответ: b) 750

Вопрос 2. Какое число нужно прибавить к 620, чтобы получить 700?
a) 70
b) 80
c) 90

Ответ: b) 80

Вопрос 3. Что получим, если из 900 вычесть 250?
a) 650
b) 750
c) 850

Ответ: a) 650

Вопрос 4. Сколько будет 500 минус 200?
a) 200
b) 300
c) 400

Ответ: b) 300

Вопрос 5. Каким числом нужно увеличить 150, чтобы получилось 450?
a) 200
b) 300
c) 350

Ответ: b) 300

Вопрос 6. Что получится, если сложить 330 и 270?
a) 550
b) 600
c) 700

Ответ: b) 600

Вопрос 7. Какое число нужно оставить, чтобы при вычитании из 800 остаться с 600?
a) 150
b) 200
c) 250

Ответ: b) 200

Вопрос 8. Что получится, если из 1000 вычесть 450?
a) 550
b) 650
c) 750

Ответ: a) 550

Вопрос 9. Что нужно прибавить к 410, чтобы получить 650?
a) 230
b) 240
c) 250

Ответ: a) 240

Вопрос 10. Какое число нужно вычесть из 950, чтобы получилось 700?
a) 250
b) 300
c) 350

Ответ: a) 250

Желаю успехов в учебе!

Конечно! Вот тест по английскому языку на тему Австралии для 11 класса с единственным выбором. Включены правильные ответы.

Тест по английскому языку: Тема "Австралия"

Вопрос 1: Какой является столицей Австралии?
A) Сидней
B) Мельбурн
C) Кэнберра
D) Брисбен
Правильный ответ: C) Кэнберра

---

Вопрос 2: Какой уникальный вид животных можно найти только в Австралии?
A) Панда
B) Кенгуру
C) Тигр
D) Олень
Правильный ответ: B) Кенгуру

---

Вопрос 3: Как называется известный оперный театр в Сиднее?
A) Опера в Мельбурне
B) Сиднейская опера
C) Оперный театр Аделаиды
D) Опера Брисбена
Правильный ответ: B) Сиднейская опера

---

Вопрос 4: Какое естественное чудо расположено у побережья Квинсленда?
A) Большой барьерный риф
B) Сахара
C) Гринендот
D) Скалистые горы
Правильный ответ: A) Большой барьерный риф

---

Вопрос 5: Какой язык является официальным в Австралии?
A) Испанский
B) Английский
C) Французский
D) Немецкий
Правильный ответ: B) Английский

---

Вопрос 6: Какой животной символизирует Австралию?
A) Орел
B) Кенгуру
C) Медведь
D) Лев
Правильный ответ: B) Кенгуру

---

Вопрос 7: Какой из этих городов является самым населённым в Австралии?
A) Перт
B) Сидней
C) Аделаида
D) Хобарт
Правильный ответ: B) Сидней

---

Вопрос 8: Какой известный австралийский актёр сыграл главную роль в фильме "Гладиатор"?
A) Хью Джекман
B) Рассел Кроу
C) Джордж Мэкинтайр
D) Крис Хемсворт
Правильный ответ: B) Рассел Кроу

---

Вопрос 9: Какой у австралийцев праздник "Australia Day"?
A) 1 января
B) 26 января
C) 4 июля
D) 14 февраля
Правильный ответ: B) 26 января

---

Вопрос 10: Как называется самый большой пустынный регион в Австралии?
A) Симпсон
B) Гоби
C) Наска
D) Калахари
Правильный ответ: A) Симпсон

---

Вопрос 11: Какой австралийский город известен своим пляжем Бонди?
A) Перт
B) Сидней
C) Мельбурн
D) Брисбен
Правильный ответ: B) Сидней

---

Вопрос 12: Как называется индигенная культура австралийцев, которые являются коренными жителями страны?
A) Тибетцы
B) Аборигены
C) Маори
D) Перуанцы
Правильный ответ: B) Аборигены

---

Вопрос 13: Какой известный австралийский музыкальный фестиваль проходит в Бонди?
A) Coachella
B) Splendour in the Grass
C) Tomorrowland
D) Glastonbury
Правильный ответ: B) Splendour in the Grass

---

Вопрос 14: Какой океан омывает восточное побережье Австралии?
A) Тихий океан
B) Атлантический океан
C) Индийский океан
D) Северный ледовитый океан
Правильный ответ: A) Тихий океан

---

Вопрос 15: Какой спорт является наиболее популярным в Австралии?
A) Футбол
B) Баскетбол
C) Крикет
D) Теннис
Правильный ответ: C) Крикет

---

Вопрос 16: Какой остров является частью Австралии?
A) Гавайи
B) Тасмания
C) Японские острова
D) Большой барьерный риф
Правильный ответ: B) Тасмания

---

Вопрос 17: Какой минерал является основным экспортным товаром Австралии?
A) Золото
B) Нефть
C) Уголь
D) Железо
Правильный ответ: D) Железо

---

Вопрос 18: Какой известный австралийский продукт является средством защиты от солнца?
A) Крема для загара
B) Лосьон
C) Бальзам для губ
D) Гель после загара
Правильный ответ: A) Крема для загара

---

Вопрос 19: Какой австралийский город является центром производства вина?
A) Мельбурн
B) Брисбен
C) Аделаида
D) Перте
Правильный ответ: C) Аделаида

---

Вопрос 20: Какой долгий путь, известный как "Большая Кругосветная дорожка", проходит через Австралию?
A) Индийская тропа
B) Лунный путь
C) Меланезийский путь
D) Большой австралийский путь
Правильный ответ: D) Большой австралийский путь

---

Вопрос 21: Какой австралийский исследователь первым пересек Австралию с севера на юг?
A) Кэптейн Кук
B) Эдвард Уинстенли
C) Алан Бун
D) Лейк Латимер
Правильный ответ: A) Кэптейн Кук

---

Вопрос 22: Какой австралийский зубр стал символом города Канберра?
A) Булан
B) Лонгбоб
C) Баки
D) Невестка
Правильный ответ: D) Невестка

---

Вопрос 23: Какой климат наблюдается в большинстве регионов Австралии?
A) Умеренный
B) Тропический
C) Арктический
D) Субтропический
Правильный ответ: D) Субтропический

---

Вопрос 24: Какой цвет присутствует на австралийском флаге?
A) Красный
B) Зеленый
C) Синий
D) Все вышеперечисленные
Правильный ответ: D) Все вышеперечисленные

---

Вопрос 25: Как называется золотоносная локация в Австралии, известная как "долина Золотой лихорадки"?
A) Калифорния
B) Вектор
C) Беналлах
D) Балларат
Правильный ответ: D) Балларат

---

Вы можете использовать этот тест, чтобы проверить знания учеников по теме Австралии в английском языке. Удачи с подготовкой к экзаменам!