Тест на тему ЭКСПО-2017

Ниже приведён тест по алгебре для 9 класса на тему: квадратичная функция, график и его свойства. Тип заданий: открытые вопросы. Количество вопросов: 5. Включены ответы.

1. Вопрос 1 Дана квадратичная функция f(x) = 2x^2 − 8x + 3. Найдите:

• вершину параболы и ось симметрии;
• направление ветвей;
• пересечения с осями координат (y-перехват и x-перехваты);
• диапазон значений функции.

2. Вопрос 2 Дана функция в канонической форме f(x) = 0.5 (x − 2)^2 − 1. Найдите:

• вершину и ось симметрии;
• направление ветвей;
• пересечения с осями (y-перехват и x-перехваты);
• диапазон значений функции.

3. Вопрос 3 Дана функция f(x) = x^2 − 4x. Найдите:

• вершину и ось симметрии;
• направление ветвей;
• пересечения с осями (y-перехват и x-перехваты);
• диапазон значений функции.

4. Вопрос 4 Парабола имеет вершину в точке (−1, −2) и пересекает ось y в точке y = 5. Найдите:

• уравнение параболы в канонической форме;
• приведите также эквивалентную ей стандартную форму (f(x) = ax^2 + bx + c);
• ось симметрии и направление ветвей.

5. Вопрос 5 Для функции f(x) = x^2 + 2x + 5 найдите:

• дискриминант D;
• число вещественных корней и их существование (если есть);
• вершину, ось симметрии и диапазон значений.

Ответы

1. Ответ к вопросу 1

• a = 2, b = −8, c = 3
• вершина x_v = −b/(2a) = −(−8)/(4) = 2; y_v = f(2) = 2·4 − 16 + 3 = −5 → вершина (2, −5)
• ось симметрии: x = 2
• направление ветвей: a > 0, значит парабола открывается вверх
• y-перехват: f(0) = 3
• x-перехваты: решаем 2x^2 − 8x + 3 = 0. D = (−8)^2 − 4·2·3 = 64 − 24 = 40; x = (8 ± √40)/(4) = (8 ± 2√10)/4 = (4 ± √10)/2 приближённо: x ≈ 0.419 и x ≈ 3.581
• диапазон: от минимального значения до бесконечности: [−5, ∞)

2. Ответ к вопросу 2

• f(x) = 0.5(x − 2)^2 − 1 → вершина (2, −1); ось симметрии: x = 2
• направление ветвей: a = 0.5 > 0 → вверх
• y-перехват: f(0) = 0.5(−2)^2 − 1 = 0.5·4 − 1 = 1
• x-перехваты: 0.5(x − 2)^2 − 1 = 0 → (x − 2)^2 = 2 → x = 2 ± √2 приблизительно: x ≈ 0.586 и x ≈ 3.414
• диапазон: [−1, ∞)

3. Ответ к вопросу 3

• f(x) = x^2 − 4x → a = 1, b = −4, c = 0
• вершина: x_v = −b/(2a) = −(−4)/2 = 2; y_v = f(2) = 4 − 8 = −4 → вершина (2, −4)
• ось симметрии: x = 2
• направление ветвей: a > 0 → вверх
• y-перехват: f(0) = 0
• x-перехваты: x(x − 4) = 0 → x = 0 и x = 4
• диапазон: [−4, ∞)

4. Ответ к вопросу 4

• вершина: (h, k) = (−1, −2)
• y-перехват: f(0) = 5
• каноническая форма: f(x) = a(x + 1)^2 − 2; подстановка f(0) = 5 даёт 5 = a·1^2 − 2 → a = 7 Значит: f(x) = 7(x + 1)^2 − 2
• стандартная форма: расширяем: 7(x^2 + 2x + 1) − 2 = 7x^2 + 14x + 7 − 2 = 7x^2 + 14x + 5
• ось симметрии: x = −1
• направление ветвей: вверх (a > 0)

5. Ответ к вопросу 5

• f(x) = x^2 + 2x + 5 → a = 1, b = 2, c = 5
• дискриминант: D = b^2 − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0
• вещественных корней нет (есть комплексные); parabola открывается вверх
• вершина: x_v = −b/(2a) = −2/2 = −1; y_v = f(−1) = 1 − 2 + 5 = 4 → вершина (−1, 4)
• ось симметрии: x = −1
• диапазон значений: [4, ∞)

Вот ваш тест по истории на тему: возникновение ислама, арабский халифат и его распад. Тип вопросов: единственный выбор. 5 вопросов. В конце — ответы.

1. Где находится исторический город, в котором началось распространение ислама? A) Мекка B) Медина C) Дамаск D) Багдад

2. Кто был первым халифом после смерти пророка Мухаммеда? A) Али B) Усман C) Абубакр D) Муавия

3. Что такое халифат? A) Государство мусульман под руководством халифа B) Город мусульман C) Праздник D) Мечеть

4. Как назывался период, когда правили первые четыре халифа после смерти Мухаммеда? A) Эпоха праведных халифов B) Омейядов C) Аббасидов D) Монгольский период

5. Что способствовало распаду арабского халифата? A) Внутренние войны и раздробление владений B) Постоянные завоевания C) Математическое развитие D) Возрождение искусств

Ответы:

1. A
2. C
3. A
4. A
5. A