Новая школа

Тест по геометрии: Подобные треугольники (открытые вопросы, 10 вопросов)

Инструкция: ответь письменно, поясни все шаги обхода после каждого вопроса. В конце дам краткие ответы и решение.

Даны треугольники ABC и A'B'C' с соответствием вершин A↔A', B↔B', C↔C'. Малый треугольник имеет стороны AB = 6, BC = 9, CA = 12. Большой треугольник имеет сторону A'B' = 18. Найди B'C' и C'A' и объясни, почему эти значения получаются.
Треугольники ABC и A'B'C' подобны (соответствие A↔A', B↔B', C↔C'). В малом треугольнике AB = 5, BC = 7, CA = 9. В большом треугольнике A'B' = 15. Найди B'C' и C'A'.
Даны треугольники ABC и DEF подобны по соответствию A↔D, B↔E, C↔F. Малый треугольник: AB = 4, BC = 6, CA = 8. Большой треугольник: DE = 10. Найди EF и FD, а также коэффициент масштабирования и отношение сходства.
Малый треугольник ABC имеет площадь S = 9. Треугольник DEF подобен ABC и имеет коэффициент масштабирования k = 3. Найди площадь DEF.
Даны подобные треугольники ABC и DEF с коэффициентом масштабирования k = 2. Периметр малого треугольника P = 25. Найди периметр большого треугольника DEF.
Чтобы доказать подобие по признаку AA, достаточно двух пар равных углов. Пусть ∠A = ∠D = 40°, ∠B = ∠E = 70°. Если AB = 4, DE = 10, найдите коэффициент масштабирования и запишите, какие другие стороны пропорциональны.
Треугольники ABC (малый) и A'B'C' (большой) подобны. Малый: AB = 3, BC = 4, CA = 5. Большой: A'B' = 9. Найди B'C' и C'A'.
В двух подобных треугольниках высота к основанию пропорциональна коэффициенту масштабирования. Пусть в малом треугольнике AB = 6, высота к AB равна h = 4. В большом треугольнике A'B' = 12. Найди высоту h' к основанию A'B'.
Рассматриваются треугольники ABC и DEF такие, что AB/DE = BC/EF = CA/FD = 2/5. Являются ли они подобными? Обоснуй ответ.
По признаку SSS: если AB:DE = BC:EF = CA:FD = 2:5, то треугольники ABC и DEF подобны. Объясни почему это так и какие последствия это имеет для их сторон, углов и площадей.

Ответы и решения

Коэффициент сходства k = A'B'/AB = 18/6 = 3. Тогда B'C' = k·BC = 3·9 = 27, C'A' = k·CA = 3·12 = 36.
Коэффициент сходства k = A'B'/AB = 15/5 = 3. Следовательно B'C' = k·BC = 3·7 = 21, C'A' = k·CA = 3·9 = 27.
Коэффициент масштабирования k = DE/AB = 10/4 = 2.5. Тогда EF = k·BC = 2.5·6 = 15, FD = k·CA = 2.5·8 = 20. Отношение сходства равно k = 2.5.
Площадь больших треугольников увеличивается в квадрат коэффициента масштабирования: S' = k^2 · S = 3^2 · 9 = 81.
Периметры растут в том же коэффициенте: P' = k · P = 2 · 25 = 50.
По AA триугольники подобны; коэффициент масштабирования k = DE/AB = 10/4 = 2.5. Тогда BC/EF = 2.5 и CA/FD = 2.5, то есть соответствующие стороны пропорциональны на коэффициент 2.5.
k = A'B'/AB = 9/3 = 3. Тогда B'C' = k·BC = 3·4 = 12, C'A' = k·CA = 3·5 = 15.
k = A'B'/AB = 12/6 = 2. Тогда h' = k · h = 2 · 4 = 8.
Да. Если AB/DE = BC/EF = CA/FD, то три стороны соответствуют пропорционально, значит треугольники подобны по признаку SSS (или по любому из эквивалентных признаков). Ответ: да, подобны.
Да. Это явный признак SSS: три пары соответствующих сторон пропорциональны одинаково (отношение 2:5 во всех парах). Следовательно, треугольники ABC и DEF подобны; их углы равны, стороны пропорциональны, а площади относятся как квадрат коэффициента масштабирования (площадь малого к площади большого равна 4:25 и т.д.).

Примечание для учителя

Можно варьировать конкретные числа в вопросах 1–3 и 7, чтобы ученикам было понятно принципиальное применение коэффициента масштаба.
Вопросы 4–5 акцентируют внимание на зависимостях площадей и периметров от коэффициента масштабирования.
Вопросы 6, 9, 10 закрепляют критерии подобия: AA, SSS, и SAS (через углы и пропорции сторон).

Вот тест по истории на тему "Страны Центральной и Восточной Европы во второй половине ХХ - начале XXI века" для учеников 11 класса:

Тест по истории: Страны Центральной и Восточной Европы во второй половине ХХ - начале XXI века

Вопрос 1: Какой важный политический процесс произошёл в большинстве стран Центральной и Восточной Европы в конце 1980-х – начале 1990-х годов?
a) Деколонизация
b) Либерализация
c) Индустриализация
d) Демократизация
Ответ: d) Демократизация

Вопрос 2: Какое событие началось в Чехословакии в 1989 году и стало символом борьбы против коммунистического режима?
a) Бархатная революция
b) Оранжевая революция
c) Непокоренная республика
d) Красная революция
Ответ: a) Бархатная революция

Вопрос 3: Какой президент Польши сыграл ключевую роль в сопротивлении коммунистическому режиму?
a) Лех Валенса
b) Владислав Гомулка
c) Качиньский
d) Лукашенко
Ответ: a) Лех Валенса

Вопрос 4: Какое соглашение привело к окончанию войны в бывшей Югославии?
a) Дейтонское соглашение
b) Парижское соглашение
c) Гельсинкское соглашение
d) Лиссабонское соглашение
Ответ: a) Дейтонское соглашение

Вопрос 5: Какой термин используется для описания миграции многих людей из Восточной Европы в Западную Европу после 2000 года?
a) Беженцы
b) Экономическая миграция
c) Рабочая миграция
d) Эмиграция
Ответ: c) Рабочая миграция

Вопрос 6: В каком году произошла оккупация Чехословакии войсками Варшавского договора?
a) 1968
b) 1980
c) 1975
d) 1985
Ответ: a) 1968

Вопрос 7: Как называется династия правителей, которая управляла Грецией до 1974 года?
a) Габсбурги
b) Бурбоны
c) Комнины
d) Глюксбурги
Ответ: d) Глюксбурги

Вопрос 8: Какой документ был подписан в 1975 году и способствовал улучшению отношений между Восточной и Западной Европой?
a) Гельсинкские соглашения
b) Парижская хартия
c) Хартия 77
d) Будапештская декларация
Ответ: a) Гельсинкские соглашения

Вопрос 9: Какой город был столицей Восточной Германии?
a) Берлин
b) Лейпциг
c) Дрезден
d) Магдебург
Ответ: a) Берлин

Вопрос 10: Какой важный общественно-политический процесс произошел в Румынии в декабре 1989 года?
a) Революция
b) Одиночный протест
c) Женевская конференция
d) Репрессии
Ответ: a) Революция

Вопрос 11: Какое событие связано с падением Берлинской стены?
a) Разделение Германии
b) Объединение Германии
c) Восстание в Восточной Германии
d) Вторжение в Чехословакию
Ответ: b) Объединение Германии

Вопрос 12: Какая страна была первой, которая оставила Коммунистическую партию у власти после 1990 года?
a) Болгария
b) Румыния
c) Венгрия
d) Чехия
Ответ: c) Венгрия

Вопрос 13: Какое новообразование появилось в 2004 году, когда несколько восточноевропейских стран вступили в Европейский Союз?
a) Содружество независимых государств
b) Вишеградская группа
c) Большое расширение ЕС
d) Скандинавская группа
Ответ: c) Большое расширение ЕС

Вопрос 14: Какой республиканский президент направил войска в Сербию во время югославского конфликта?
a) Билл Клинтон
b) Джон Кеннеди
c) Рональд Рейган
d) Джордж Буш
Ответ: a) Билл Клинтон

Вопрос 15: Какое из следующих утверждений о Венгрии неверно?
a) Венгрия - одна из первых стран, присоединившихся к ЕС
b) Венгрия является членом НАТО
c) Венгрия - республика с парламентом
d) Венгрия использует евро в качестве национальной валюты
Ответ: d) Венгрия использует евро в качестве национальной валюты (действующая валюта - форинт)

Вопрос 16: Какой идеологический термин 1990-х годов использовался для описания стремления к капиталистическим реформам в России и странах Восточной Европы?
a) Социализм
b) Посткоммунизм
c) Социал-демократия
d) Авторитаризм
Ответ: b) Посткоммунизм

Вопрос 17: Какая страна была признана первой демократической в Восточной Европе после падения коммунизма?
a) Словакия
b) Польша
c) Чехия
d) Литва
Ответ: b) Польша

Вопрос 18: Какой известный экономический термин используется для описания перехода от плановой экономики к рыночной в странах Восточной Европы?
a) Стратегия
b) Открытие
c) Приватизация
d) Либерализация
Ответ: c) Приватизация

Вопрос 19: Какой конфликт начался в Восточной Европе в 1991 году и привёл к образованию независимых государств?
a) Гражданская война в Сербии
b) Конфликт в Нагорном Карабахе
c) Распад Югославии
d) Албанско-сербский конфликт
Ответ: c) Распад Югославии

Вопрос 20: Кто был последним президентом Чехословакии перед её распадом в 1993 году?
a) Вацлав Гавел
b) Лех Валенса
c) Милош Земан
d) Václav Klaus
Ответ: a) Вацлав Гавел

Итоги:

Вопросы охватывают разные аспекты истории Центральной и Восточной Европы во второй половине XX - начале XXI века.
Учащиеся могут проверить свои знания о значимых событиях, персоналиях и процессах в регионе.

Успехов на экзаменах!

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Подобные треугольники

Популярные тесты

Тест по истории: Страны Центральной и Восточной Европы во второй половине ХХ - начале XXI века

Итоги: