Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52
Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Вектора

30 августа 2025 10:49

{Другой предмет}
11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по теме Вектора для 11 класса. Все вопросы открытые. В конце — полный ответ с подробностями.

Тест (15 вопросов)

  1. Найдите длину вектора a = (3, -4, 2).

  2. Найдите единичный вектор в направлении b = (1, -2, 2).

  3. Найдите скалярное произведение a · b для a = (2, 3, -1) и b = (-3, 0, 4).

  4. Найдите угол θ между векторами a = (1, 2, 3) и b = (4, 0, -1). Выразите через скалярное произведение и длины.

  5. Найдите проекцию вектора a = (3, 4, 0) на вектор b = (1, 0, -2). Требуется как векторная проекция.

  6. Найдите векторную площадь параллелограмма, образованного векторами a = (2, 1, 0) и b = (-1, 3, 4).

  7. Найдите значение t ∈ R, при котором вектор a + t b перпендикулярен вектору c. Пусть a = (1, 2, 3), b = (4, -2, 1), c = (7, -1, 2).

  8. Пусть A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (4, 0, 5), D = (-1, 4, 2). Определите, лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости. Вычислите соответствующий скалярный тройной произведение AB · (AC × AD).

  9. Запишите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A = (1, 0, 2) и имеющей направляющий вектор v = (-1, 3, 4). Запишите параметрическое уравнение прямой.

  10. Найдите уравнение плоскости, нормаль которой n = (1, -2, 3) и которая проходит через точку P = (2, 0, -1).

  11. Пусть u = (2, 3, -1) и v = (1, -1, 2). Определите, ортогональны ли они. Если нет, найдите вектор w, который перпендикулярен обоим.

  12. Найдите длину скалярной проекции вектора a onto вектор b для a = (3, 4, 0) и b = (1, 0, -2). Также найдите саму vectорную проекцию a onto b.

  13. Пусть a = (2, 4, 6) и b = (1, 2, 3). Являются ли эти векторы параллельны? Докажите или поясните ответ.

  14. Найдите площадь параллелограмма, образованного векторами a = (3, 1) и b = (-2, 4) (в 2D).

  15. Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точки A = (1, 2, 3) и B = (4, 0, 5).

Ответы (ключ к заданиям)

  1. |a| = sqrt(3^2 + (-4)^2 + 2^2) = sqrt(9 + 16 + 4) = sqrt(29).

  2. |b| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3. Единичный вектор: û = b / |b| = (1/3, -2/3, 2/3).

  3. a · b = 2*(-3) + 3*0 + (-1)*4 = -6 + 0 - 4 = -10.

  4. a · b = 14 + 20 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1. |a| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14). |b| = sqrt(4^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(17). cos θ = (a · b) / (|a| |b|) = 1 / sqrt(238). θ = arccos(1 / sqrt(238)) ≈ 86.2°.

  5. a · b = 31 + 40 + 0*(-2) = 3. b · b = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 = 5. Пр proj_b a = [(a · b) / (b · b)] b = (3/5) (1, 0, -2) = (3/5, 0, -6/5).

  6. a × b = |i j k; 2 1 0; -1 3 4| = (4, -8, 7). |a × b| = sqrt(4^2 + (-8)^2 + 7^2) = sqrt(16 + 64 + 49) = sqrt(129) ≈ 11.36.

  7. (a + t b) · c = 0. a · c = 11, b · c = 32 → t = - (a · c) / (b · c) = -11/32.

  8. AB = (1, 2, 3), AC = (4, 0, 5), AD = (-1, 4, 2). AC × AD = (-20, -13, 16). AB · (AC × AD) = (1)(-20) + (2)(-13) + (3)(16) = -20 - 26 + 48 = 2 ≠ 0. Значит точки не лежат на одной плоскости (неCoplanar).

  9. Векторное уравнение прямой: r = A + t v = (1, 0, 2) + t(-1, 3, 4). Параметрическое: x = 1 - t, y = 0 + 3t, z = 2 + 4t.

  10. Уравнение плоскости: n · (r - P) = 0. (1, -2, 3) · ((x, y, z) - (2, 0, -1)) = 0 => (x - 2) - 2y + 3(z + 1) = 0 => x - 2y + 3z + 1 = 0.

  11. u · v = 21 + 3(-1) + (-1)*2 = 2 - 3 - 2 = -3 ≠ 0, значит не ортогональны. Вектор, перпендикулярный обоим: w = u × v = (5, -5, -5) (или любой ненулевой кратный).

  12. Скалярная проекция длины: a · b / |b| = 3 / √5. Векторная проекция: [(a · b) / (b · b)] b = (3/5) b = (3/5, 0, -6/5).

  13. a × b = (2,4,6) × (1,2,3) = (0, 0, 0) → векторы параллельны (один кратен другим: b = 0.5 a).

  14. Площадь параллелограмма в 2D: S = |det([a b])| = |34 - 1(-2)| = |12 + 2| = 14.

  15. Векторное уравнение прямой через A и B: Направляющий вектор d = B - A = (3, -2, 2). r = A + t d = (1, 2, 3) + t (3, -2, 2). Параметрическое: x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = 3 + 2t.

Если нужно, могу адаптировать тест под другой уровень сложности или перевести в формат теста с пустыми полями для ответов.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
7 Класс

Тест по английскому языку для 7 класса

Тема: Clown, Trick, Circus, Perform, Sailing, Responsible, Water-skiing, Active, Brick, Explore, Theme park, Instrument

Инструкции: Заполните пропуски в предложениях подходящими словами из списка: clown, trick, circus, perform, sailing, responsible, water-skiing, active, brick, explore, theme park, instrument.

  1. The _____ is a funny character who makes people laugh in the circus.

  2. She learned a new _____ on the guitar for the school concert.

  3. The _____ is a place where you can see acrobats and trapeze artists.

  4. Can you _____ a magic _____ and make the rabbit disappear?

  5. They went _____ on the lake every weekend last summer.

  6. It's important to be _____ when taking care of pets.

  7. He loves _____ on the weekends; he goes to the lake and enjoys the water.

  8. She is very _____ and always participates in sports and activities.

  9. A _____ is a material used for building walls and houses.

  10. We should _____ the city during our vacation to find new places to visit.

  11. The _____ is filled with rides, games, and shows for everyone.

  12. I need to _____ my skills in playing the piano before the recital.

  13. The _____ made everyone laugh with his silly dance.

  14. Can you _____ a new _____ for the school talent show next week?

  15. The circus performers are going to _____ their amazing routines tonight.

  16. My uncle is _____ for taking care of the fishing boat.

  17. I love _____ because it gives me an adrenaline rush.

  18. You can learn many new _____ by joining the school band.

  19. The _____ has a lot of exciting attractions and fun games.

  20. It’s always great to _____ new places and meet new friends.

Ответы:

  1. clown
  2. instrument
  3. circus
  4. perform, trick
  5. sailing
  6. responsible
  7. water-skiing
  8. active
  9. brick
  10. explore
  11. theme park
  12. perform
  13. clown
  14. perform, instrument
  15. perform
  16. responsible
  17. water-skiing
  18. instruments
  19. theme park
  20. explore

Оценка теста: Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл. Максимальная сумма баллов за тест — 20 баллов.

{Другой предмет}
11 Класс

Вот тест по биологии на тему методов ЭКО (экстракорпорального оплодотворения) для 11 класса с множественным выбором:

Тест по биологии: Методы ЭКО

Вопрос 1:

Какой из следующих методов не используется в процессе экстракорпорального оплодотворения? A) Инсеминация спермы
B) Лапароскопия
C) Замораживание яйцеклеток
D) Генетическая диагностика

Ответ: A) Инсеминация спермы

Вопрос 2:

Какой из следующих этапов является первым в процессе ЭКО? A) Перенос эмбрионов в матку
B) Оплодотворение яйцеклеток
C) Стерилизация спермы
D) Стимуляция овуляции

Ответ: D) Стимуляция овуляции

Вопрос 3:

Какова основная цель применения методов ЭКО? A) Избежание наследственных заболеваний
B) Увеличение фертильности у мужчин
C) Увеличение количества здоровых яйцеклеток
D) Лечение инфекционных заболеваний

Ответ: A) Избежание наследственных заболеваний

Вопрос 4:

Какой из методов может быть использован для диагностики генетических заболеваний у эмбрионов перед их имплантацией? A) ПГД (предимплантационная генетическая диагностика)
B) Цитогенетический анализ
C) УЗИ
D) Гемограмма

Ответ: A) ПГД (предимплантационная генетическая диагностика)

Вопрос 5:

Какие из перечисленных факторов могут влиять на успех процедуры ЭКО? A) Возраст женщины
B) Психологическое состояние партнёров
C) Качество спермы
D) Все вышеперечисленные

Ответ: D) Все вышеперечисленные

Этот тест поможет учащимся проверить свои знания о методах ЭКО и подготовиться к экзамену.

{Другой предмет}
1 Класс

Тест по окружающему миру для учеников 1 класса

Тема: Как путешествует письмо?

  1. Какое средство передвижения используется для отправки писем? A) Автомобиль B) Почтовая машина C) Самолет D) Почтовый ящик

  2. Как называется здание, где работают почтальоны и обрабатываются письма? A) Почтовый узел B) Почтовое отделение C) Почтовый ящик D) Почтовая коробка

  3. Что нужно сделать, чтобы отправить письмо по почте? A) Зачитать адрес вслух B) Кинуть письмо в окно C) Написать адрес получателя на конверте D) Повесить письмо на дерево

  4. Как доставляется письмо получателю? A) Почтальон приносит лично B) По почтовому ящику C) С помощью дрона D) Через интернет

  5. Какая из этих вещей не отправляется по почте? A) Письмо B) Почтовая карточка C) Подарок D) Камень

  6. Как называется бумажка, на которой пишут письмо? A) Письмовник B) Блокнот C) Конверт D) Письмоформат

  7. Что обязательно должно быть на письме? A) Телефон отправителя B) Фамилия и адрес отправителя C) Рисунок на обратной стороне D) Секретное сообщение

  8. Как называется процесс отправки и получения писем? A) Получатель B) Индекс C) Корреспонденция D) Открытка

  9. Какие письма могут быть красиво украшены и пахнуть ароматом? A) Письма с открытками B) Письма-загадки C) Письма сценарий D) Письма-сюрпризы

  10. Какой праздник почтальоны отмечают 1 июля? A) День рождения почты B) День почтового работника C) День почтовой службы D) День почтового ящика

Ответы:

  1. D) Почтовый ящик
  2. B) Почтовое отделение
  3. C) Написать адрес получателя на конверте
  4. B) По почтовому ящику
  5. D) Камень
  6. C) Конверт
  7. B) Фамилия и адрес отправителя
  8. C) Корреспонденция
  9. A) Письма с открытками
  10. B) День почтового работника

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта