Новая школа

Ниже представлен тест по теме Вектора для 11 класса. Все вопросы открытые. В конце — полный ответ с подробностями.

Тест (15 вопросов)

Найдите длину вектора a = (3, -4, 2).
Найдите единичный вектор в направлении b = (1, -2, 2).
Найдите скалярное произведение a · b для a = (2, 3, -1) и b = (-3, 0, 4).
Найдите угол θ между векторами a = (1, 2, 3) и b = (4, 0, -1). Выразите через скалярное произведение и длины.
Найдите проекцию вектора a = (3, 4, 0) на вектор b = (1, 0, -2). Требуется как векторная проекция.
Найдите векторную площадь параллелограмма, образованного векторами a = (2, 1, 0) и b = (-1, 3, 4).
Найдите значение t ∈ R, при котором вектор a + t b перпендикулярен вектору c. Пусть a = (1, 2, 3), b = (4, -2, 1), c = (7, -1, 2).
Пусть A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (4, 0, 5), D = (-1, 4, 2). Определите, лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости. Вычислите соответствующий скалярный тройной произведение AB · (AC × AD).
Запишите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A = (1, 0, 2) и имеющей направляющий вектор v = (-1, 3, 4). Запишите параметрическое уравнение прямой.
Найдите уравнение плоскости, нормаль которой n = (1, -2, 3) и которая проходит через точку P = (2, 0, -1).
Пусть u = (2, 3, -1) и v = (1, -1, 2). Определите, ортогональны ли они. Если нет, найдите вектор w, который перпендикулярен обоим.
Найдите длину скалярной проекции вектора a onto вектор b для a = (3, 4, 0) и b = (1, 0, -2). Также найдите саму vectорную проекцию a onto b.
Пусть a = (2, 4, 6) и b = (1, 2, 3). Являются ли эти векторы параллельны? Докажите или поясните ответ.
Найдите площадь параллелограмма, образованного векторами a = (3, 1) и b = (-2, 4) (в 2D).
Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точки A = (1, 2, 3) и B = (4, 0, 5).

Ответы (ключ к заданиям)

|a| = sqrt(3^2 + (-4)^2 + 2^2) = sqrt(9 + 16 + 4) = sqrt(29).
|b| = sqrt(1^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3. Единичный вектор: û = b / |b| = (1/3, -2/3, 2/3).
a · b = 2*(-3) + 3*0 + (-1)*4 = -6 + 0 - 4 = -10.
a · b = 14 + 20 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1. |a| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14). |b| = sqrt(4^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(17). cos θ = (a · b) / (|a| |b|) = 1 / sqrt(238). θ = arccos(1 / sqrt(238)) ≈ 86.2°.
a · b = 31 + 40 + 0*(-2) = 3. b · b = 1^2 + 0^2 + (-2)^2 = 5. Пр proj_b a = [(a · b) / (b · b)] b = (3/5) (1, 0, -2) = (3/5, 0, -6/5).
a × b = |i j k; 2 1 0; -1 3 4| = (4, -8, 7). |a × b| = sqrt(4^2 + (-8)^2 + 7^2) = sqrt(16 + 64 + 49) = sqrt(129) ≈ 11.36.
(a + t b) · c = 0. a · c = 11, b · c = 32 → t = - (a · c) / (b · c) = -11/32.
AB = (1, 2, 3), AC = (4, 0, 5), AD = (-1, 4, 2). AC × AD = (-20, -13, 16). AB · (AC × AD) = (1)(-20) + (2)(-13) + (3)(16) = -20 - 26 + 48 = 2 ≠ 0. Значит точки не лежат на одной плоскости (неCoplanar).
Векторное уравнение прямой: r = A + t v = (1, 0, 2) + t(-1, 3, 4). Параметрическое: x = 1 - t, y = 0 + 3t, z = 2 + 4t.
Уравнение плоскости: n · (r - P) = 0. (1, -2, 3) · ((x, y, z) - (2, 0, -1)) = 0 => (x - 2) - 2y + 3(z + 1) = 0 => x - 2y + 3z + 1 = 0.
u · v = 21 + 3(-1) + (-1)*2 = 2 - 3 - 2 = -3 ≠ 0, значит не ортогональны. Вектор, перпендикулярный обоим: w = u × v = (5, -5, -5) (или любой ненулевой кратный).
Скалярная проекция длины: a · b / |b| = 3 / √5. Векторная проекция: [(a · b) / (b · b)] b = (3/5) b = (3/5, 0, -6/5).
a × b = (2,4,6) × (1,2,3) = (0, 0, 0) → векторы параллельны (один кратен другим: b = 0.5 a).
Площадь параллелограмма в 2D: S = |det([a b])| = |34 - 1(-2)| = |12 + 2| = 14.
Векторное уравнение прямой через A и B: Направляющий вектор d = B - A = (3, -2, 2). r = A + t d = (1, 2, 3) + t (3, -2, 2). Параметрическое: x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = 3 + 2t.

Если нужно, могу адаптировать тест под другой уровень сложности или перевести в формат теста с пустыми полями для ответов.

Ниже представлен тест по химии на тему "Азот и фосфор" для 11 класса. Все вопросы открытого типа. Ответы здесь не приводятся.

Опишите электронную конфигурацию атома азота и объясните, почему молекула N2 образует прочную тройную связь и практически не реагирует при обычных условиях.
Перечислите устойчивые аллотропы азота и охарактеризуйте их строение и основные свойства.
Объясните, почему азот образует в основном связь N≡N, и какие последствия это имеет для его химической активности и реагирования с другими элементами.
Запишите и поясните возможные степени окисления азота в наиболее важных соединениях: N2, NH3, NO, NO2, HNO3, NH4+, N2O.
Что такое нитраты и нитриты? Приведите примеры соединений, их источники в природе и промышленности, а также их роль в биосфере и возможные экологические риски.
Опишите азотный цикл природы: фиксацию азота, нитрификацию, денитрификацию и ассимиляцию; назовите микроорганизмы, участвующие на каждой стадии, и их роль.
Подробно изложите этапы нитрификации: NH3 → NO2− → NO3−; какие биологические группы организмов участвуют и какие факторы влияют на скорость процесса.
Опишите аммиак NH3: его естественные источники и способы образования в промышленности, физические свойства и основные применения.
Объясните образование и свойства аммония NH4+; какие реакции приводят к его образованию и как он ведет себя в водных растворах.
Опишите оксиды азота NO, NO2 и N2O: способы получения, типичные свойства и их влияние на атмосферу и биосферу.
Что такое азотная кислота HNO3: как она образуется в промышленности (кратко о принципах процесса), её физико-химические свойства и основные применения.
Опишите фосфор в природе и минералы, в которых он встречается (например, апатит, фосфатиты); объясните роль фосфора в биосфере и цикле фосфора.
Перечислите аллотропы фосфора и охарактеризуйте их строение и свойства; почему белый фосфор опасен при обращении и чем он отличается от красного и других аллотропов.
Приведите примеры соединений фосфора в степенях окисления -3, +3 и +5 (например, PH3, PCl3, H3PO3, H3PO4, P2O5); опишите характер связей и основные типы реакций этих соединений.
Опишите фосфорную кислоту H3PO4: пути получения, кислотно-основные свойства и примеры применений.
Объясните роль фосфатов в удобрениях и в почве: как они усваиваются растениями, какие формы применяются и какие экологические последствия может иметь их избыточное внесение.
Сравните основные черты химических свойств азота и фосфора: устойчивость связей, типы образующихся соединений и общее влияние на реактивность элементов в соединениях с кислородом и другими неметаллами.
Запишите и поясните сбалансированные уравнения для следующих процессов: а) образование аммиака из азота и водорода (Haber): N2 + 3H2 ⇌ 2NH3; б) образование оксида азота NO из N2 и O2: N2 + O2 → 2NO; в) образование P2O5 из фосфора и кислорода: 4P + 5O2 → 2P2O5.
Обсудите экологические проблемы, связанные с применением азотных и фосфорных удобрений: влияние нитратов и фосфатов на водные экосистемы, эвтрофикация; какие существуют пути снижения негативного воздействия.
Какие общие принципы безопасности и охраны труда применяют при работе с азотсодержащими и фосфорсодержащими веществами (например, NH3, HNO3, белый фосфор, фосфоро-кислотные соединения)? Какие меры предосторожности и экологической ответственности следует соблюдать?

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Вектора

Популярные тесты