Тест на тему Многоугольники, параллелограмм

Тест по геометрии (8 класс) Тема: Многоугольники, параллелограмм Тип вопросов: Открытые вопросы Количество вопросов: 10 Ответы: даётесь вместе с тестом

Вопросы

1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Укажите верные утверждения и обоснуйте их:

   • AO = OC
   • BO = OD
   • AB ∥ CD
   • AD ∥ BC
   • AB = CD
   • AD = BC

2. В параллелограмме верны ли следующие утверждения?

   • ∠A = ∠C
   • ∠B = ∠D
   • ∠A + ∠B = 180° Дайте краткое обоснование к каждому утверждению.

3. Найдите сумму внутренних углов восьмиугольника.

4. Площадь параллелограмма равна: AB = 7 см, BC = 5 см, угол между сторонами AB и BC составляет ∠ABC = 60°. Найдите площадь параллелограмма.

5. В параллелограмме угол A = 110°. Найдите величины остальных углов (∠B, ∠C, ∠D).

6. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются в своей середине. Кратко сформулируйте доказательство.

7. В параллелограмме стороны: AB = 6 см, BC = 4 см, угол между сторонами ∠ABC = 120°. Найдите длины диагоналей AC и BD.

8. Найдите периметр правильного восьмиугольника со стороной s = 3 см.

9. Дан квадрат AB = 5 см. Найдите его площадь и диагональ.

10. Назовите два свойства параллелограмма, которые отличают его от общего выпуклого многоугольника (то есть которых не обязательно обладает любой выпуклый многоугольник).

Ответы

1. Верны все три группы утверждений:

   • AO = OC и BO = OD (диагонали параллелограмма пересекаются в середине, делят их пополам)
   • AB ∥ CD и AD ∥ BC (параллелограмм имеет две пары параллельных сторон)
   • AB = CD и AD = BC (противолежащие стороны равны) Обоснование: диагонали параллелограмма пересекаются в точке O и делят друг друга пополам; противоположные стороны параллельны и равны.

2. Все три утверждения верны:

   • ∠A = ∠C (противоположные углы равны)
   • ∠B = ∠D (противоположные углы равны)
   • ∠A + ∠B = 180° (соседние углы суммируются до 180°) Обоснование: это свойства параллелограмма: противоположные углы равны, соседние углы supplementary.

3. сумма внутренних углов восьмиугольника: (n-2)·180° = (8-2)·180° = 6·180° = 1080°.

4. S = AB · BC · sin(∠ABC) = 7 · 5 · sin 60° = 35 · (√3/2) = 35√3/2 ≈ 30.31 см².

5. В параллелограмме суммы углов на соседних сторонах равны 180°.

   • ∠B = 180° − ∠A = 180° − 110° = 70°
   • ∠C = ∠A = 110°
   • ∠D = ∠B = 70° Ответ: ∠B = 70°, ∠C = 110°, ∠D = 70°.

6. Доказательство (кратко): в параллелограмме AB ∥ CD и AD ∥ BC. Рассмотрим треугольники AOB и COD, где O — точка пересечения диагоналей. У них AB = CD (противолежащие стороны равны), BO = DO (диагонали пересекаются в середине), и ∠ABO = ∠CDO (параллельности AB ∥ CD и BO ∥ DO). По SAS эти треугольники равны, следовательно AO = CO. Аналогично можно показать BO = DO. Значит диагонали пересекаются в середине.

7. dAC^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ = 6^2 + 4^2 + 2·6·4·cos 120° = 36 + 16 + 48·(−1/2) = 52 − 24 = 28 → dAC = sqrt(28) = 2√7 см. dBD^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos θ = 52 − (−24) = 76 → dBD = sqrt(76) = 2√19 см. Ответ: AC = 2√7 см, BD = 2√19 см.

8. Периметр правильного восьмиугольника: P = 8 · 3 = 24 см.

9. Квадрат со стороной 5 см: площадь S = 5^2 = 25 см²; диагональ d = 5√2 ≈ 7.07 см.

10. Два свойства параллелограмма, которые не обязательно присущи любому выпуклому многоугольнику:

• Противоположные стороны параллельны (AB ∥ CD и AD ∥ BC).
• Противоположные стороны равны (AB = CD и AD = BC). Дополнительно можно упомянуть, что диагонали параллелограмма пересекаются в середине.