Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52
Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Треугольники

04 сентября 2025 14:20

{Другой предмет}
11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по теме "Треугольники" для 11 класса. Тип вопросов: открытые (схема решения ожидается). В конце каждого вопроса даны ответы/ключи к решениям.

  1. В треугольнике ABC стороны a = 5, b = 7, c = 6. Найдите углы A, B и C (углы против сторон a, b, c соответственно).
  • Ответ: A ≈ 44.4°, B ≈ 78.46°, C ≈ 57.14°. Обоснование: по теореме косинусов cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) и так далее.
  1. Докажите, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
  • Ответ: доказательство стандартное: можно опустить одну высоту или воспользоваться параллельными линиями и суммой углов при пересечении трансверзиями, либо через геометрическую площадь (площадь как половина произведения основания на высоту) и разложение на соседние треугольники.
  1. Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.
  • Ответ: s = (13+14+15)/2 = 21; K = sqrt(21·8·7·6) = sqrt(7056) = 84.
  1. Треугольник со сторонами 8, 15, 17. Докажите, что он прямоугольный, и найдите его площадь.
  • Ответ: 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2, значит прямоугольник. Площадь = (1/2)·8·15 = 60.
  1. Радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 5, 5, 6.
  • Ответ: сначала найдём площадь K по формуле Герона: s = 8, K = sqrt(8·3·3·2) = sqrt(144) = 12. Then R (радиус вписанной окружности) не нужен здесь — требуется радиус описанной окружности. Для описанной окружности R = abc/(4K) = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8 = 3.125. (Если спрашивался именно Rописанной, то 3.125.)
  1. Найдите координаты инцентрa треугольника с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3).
  • Ответ: I(1, 1). Обоснование: стороны против A, B, C равны a = BC = 5, b = CA = 3, c = AB = 4; инцентр имеет координаты (ax_A + bx_B + cx_C)/(a+b+c), и аналогично по y.
  1. В треугольнике со сторонами a = 7, b = 8, c = 9 найдите высоту h_c, опущенную на сторону c (то есть на сторону длиной 9).
  • Ответ: площадь K треугольника через Герон: s = 12, K = sqrt(12·5·4·3) = sqrt(720) = 12√5. Тогда h_c = 2K/c = 2·12√5 / 9 = 8√5/3 ≈ 5.9628.
  1. В треугольнике высота AH, опущенная на основание BC, равна 4.5, основание BC равно 9. Найдите площадь треугольника.
  • Ответ: S = (1/2)·BC·AH = (1/2)·9·4.5 = 20.25.
  1. Найдите центр массы (центр тяжести) треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  • Ответ: G = ((0+6+2)/3, (0+0+4)/3) = (8/3, 4/3) ≈ (2.667, 1.333).
  1. В равнобедренном треугольнике AB = AC = 5, угол при вершине A равен 40°. Найдите длину основания BC.
  • Ответ: BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A = 25 + 25 − 50 cos 40° = 50(1 − cos 40°). Численно BC ≈ sqrt(11.6978) ≈ 3.424.
  1. Радиус вписанной окружности треугольника 13, 14, 15.
  • Ответ: K = 84, s = (13+14+15)/2 = 21; r = K/s = 84/21 = 4.
  1. Доказать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 1/2 ab sin C.
  • Ответ: Пусть стороны a и b образуют угол C. Опустим высоту h на сторону a. Тогда S = (1/2)·a·h, а h = b sin C (проекция стороны b на высоту к a). Тогда S = (1/2)ab sin C. Можно привести ещё одно геометрическое доказательство через построение параллельной линии или через векторный подход.
  1. Площадь треугольника ABC, если AB = 7, AC = 9, угол ∠A = 60°.
  • Ответ: S = (1/2)·AB·AC·sin ∠A = (1/2)·7·9·sin 60° = (63/2)·(√3/2) = 63√3/4 ≈ 27.28.
  1. Прямоугольный треугольник с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3). Найдите координаты ортоцентра.
  • Ответ: Так как треугольник прямоугольный в вершине A, ортоцентр совпадает с вершиной A: H = A = (0,0).
  1. Докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид) и что отношение от вершины к центроиду внутри медианы равно 2:1. Пример для треугольника A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  • Ответ: Центроид G = (8/3, 4/3). На каждой медиане от вершины до середины противоположной стороны точка G делит медиану в отношении 2:1 (AG:GM = 2:1). Можно показать по формулам или графически.
  1. Найдите длины трёх медиан треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  • Ответ:
    • m_a (медиана к стороне BC): расстояние от A до середины BC; середина BC = ((6+2)/2, (0+4)/2) = (4,2); m_a = |A–M_BC| = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2√5 ≈ 4.472.
    • m_b (к стороне AC): середина AC = ((0+2)/2, (0+4)/2) = (1,2); m_b = |B–M_AC| = sqrt((6−1)^2 + (0−2)^2) = sqrt(25+4) = sqrt(29) ≈ 5.385.
    • m_c (к стороне AB): середина AB = ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3,0); m_c = |C–M_AB| = sqrt((2−3)^2 + (4−0)^2) = sqrt(1+16) = sqrt(17) ≈ 4.123.
  1. Докажите по SAS, что два треугольника равны, если две стороны треугольников равны и угол между ними равен.
  • Ответ: Рассмотрим ΔABC и ΔA'B'C' с AB = A'B', AC = A'C' и ∠A = ∠A'. По теореме SAS эти треугольники являются конгруэнтными (соответствующие стороны и включённый угол равны). Доказательство даётся через построение сопоставления сторон и углов и применение теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и включённому углу (классическая SAS-гомогенность).
  1. Найдите площадь треугольника со сторонами 9, 10, 17.
  • Ответ: s = 18; K = sqrt(18·9·8·1) = sqrt(1296) = 36.
  1. Найдите площадь треугольника, если основание BC = 20, высота к этому основанию AH = 12.
  • Ответ: S = (1/2)·20·12 = 120.
  1. Доказать, что треугольник со сторонами 9, 40, 41 является прямоугольным, и найти его площадь.
  • Ответ: 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2, следовательно, прямоугольный. Площадь = (1/2)·9·40 = 180.

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности, добавить или убрать проблемные блоки (теория+задачи на вычисление площади, длины сторон, координатные задачи и т. п.), или оформить тест в виде документа (приложение) для печати.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
9 Класс

Ниже тест по истории для 9 класса. Тип вопросов: единственный выбор. 10 вопросов. В конце — ответы.

  1. Кто возглавил Бурбонскую реставрацию во Франции после Наполеона? A) Луи-Филипп B) Луи XVIII C) Карл X D) Наполеон I Ответ: B

  2. Какой документ учредлял конституционную монархию во время первой реставрации? A) Конституция 1791 B) Хартa 1814 C) Декларация прав 1789 D) Устав 1830 Ответ: B

  3. Как назывались ордонансы Карла X 1830 года, ограничившие свободу печати и распустившие палату? A) Ордонансы Парижа B) Ордонансы Сен-Клу C) Булоны 1830 D) Лондонские нормы Ответ: B

  4. Кто пришёл к власти после июльской революции 1830 года? A) Луи XVIII B) Карл X C) Луи-Филипп D) Наполеон III Ответ: C

  5. Какой эпитет получил Луи-Филипп за период своего правления? A) Король-воин B) Король-гражданин C) Король-цезарь D) Король-диктатор Ответ: B

  6. Какие две династии спорили за легитимность власти в XIX веке во Франции? A) Бурбоны и Браганцы B) Бурбоны и Орлеаны C) Орлеаны и Бонапарты D) Бурбоны и Валуа Ответ: B

  7. Какой характер носило правление Луи-Филиппа? A) Абсолютная монархия B) Конституционная монархия с либеральной политикой C) Республика D) Диктатура Ответ: B

  8. Как назывался период с 1830 по 1848 годы во Франции? A) Бурбонская реставрация B) Июльская монархия C) Второй Империи D) Вторая республика Ответ: B

  9. Какие политические силы влияли на Бурбонскую реставрацию? A) ультра-рояльные и либералы B) социалисты и коммунисты C) радикалы и бургомистры D) консерваторы и либералы Ответ: A

  10. Как завершилась эпоха Орлеанов и правление Луи-Филиппа? A) Переворот 1848 года; образование Второй республики B) Признание Бурбонской реставрации C) Образование Второй Империи D) Воссоздание Бурбонской реставрации Ответ: A

{Другой предмет}
9 Класс

Тест по биологии для 9 класса: Признаки животных

Вопросы:

  1. Какой из следующих признаков характерен для всех животных?

    • A) Способность к фотосинтезу
    • B) Одноклеточность
    • C) Многообразие форм движений
    • D) Наличие клеточной стенки
      Ответ: C

  2. Какой из этих классов животных является теплокровным?

    • A) Природные беспозвоночные
    • B) Птицы
    • C) Рептилии
    • D) Амфибии
      Ответ: B

  3. Какое из перечисленных животных обладает хордой на протяжении всего своего жизненного цикла?

    • A) Ящерица
    • B) Тетерев
    • C) Человек
    • D) Лошадь
      Ответ: C

  4. Какого из этих животных нельзя отнести к беспозвоночным?

    • A) Медуза
    • B) Ставропедия
    • C) Утка
    • D) Слон
      Ответ: C

  5. Какой из признаков присущ исключительно птицам?

    • A) Наличие шерсти
    • B) Наличие пера
    • C) Наличие крыльев
    • D) Способность к дыханию легкими
      Ответ: B

  6. Какие животные развивают прямое развитие?

    • A) Лягушки
    • B) Комары
    • C) Моллюски
    • D) Млекопитающие
      Ответ: D

  7. Какой из этих признаков характеризует млекопитающих?

    • A) Наличие жабр
    • B) Откладывание яиц
    • C) Наличие молочных желез
    • D) Обитание только в воде
      Ответ: C

  8. Какой из этих классов животных не имеет наружного скелета?

    • A) Ракообразные
    • B) Моллюски
    • C) Черви
    • D) насекомые
      Ответ: C

  9. Какое из этих животных является хищником?

    • A) Слон
    • B) Коровы
    • C) Аист
    • D) Тигр
      Ответ: D

  10. Какой из указанных признаков свойственен рыбам?

    • A) Легкие
    • B) Плавники
    • C) Шершавая кожа
    • D) Обустройство гнезд
      Ответ: B

Итог:

Проверьте свои знания о признаках животных, ответив на вопросы этого теста. Вы можете обсудить свои ответы с товарищами или учителем. Удачи в подготовке к экзаменам!

{Другой предмет}
4 Класс

Тест по предмету "Естествознание" для учеников 4 класса на тему "Что такое сезонные изменения":

  1. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Деревья зеленеют B. Весна 2. Падает снег C. Лето 3. Дни становятся короче D. Осень 4. Цветут цветы

  2. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Холодно B. Весна 2. Тепло C. Лето 3. Дождливо D. Осень 4. Ветрено

  3. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Урожай созревает B. Весна 2. Листья опадают C. Лето 3. Птицы мигрируют D. Осень 4. Реки замерзают

  4. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Купание в водоемах B. Весна 2. Начинают цвести первоцветы C. Лето 3. Жара D. Осень 4. Люди носят легкую одежду

  5. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Сбор урожая B. Весна 2. Тает снег C. Лето 3. Пляжный отдых D. Осень 4. Хмурые дожди

  6. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Летоход B. Весна 2. Пасха C. Лето 3. Новый год D. Осень 4. День победы

  7. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Отпуск B. Весна 2. Прогулки в парке C. Лето 3. Новые учебные курсы D. Осень 4. Подготовка к школе

  8. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Опадают оставшиеся листья B. Весна 2. Растения просыпаются от зимнего сна C. Лето 3. Жара и сухость D. Осень 4. Возобновление учебного процесса

  9. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Полевые работы B. Весна 2. Приготовление консервов C. Лето 3. Сбор урожая D. Осень 4. Желуди и шишки

  10. Соедините правильные пары: A. Зима 1. Наблюдения за снежным покровом B. Весна 2. Развитие науки C. Лето 3. Природные катаклизмы D. Осень 4. Изучение иностранных языков

Ответы: 1 - A:2, B:4, C:1, D:3 2 - A:1, B:4, C:2, D:3 3 - A:4, B:1, C:3, D:2 4 - A:2, B:4, C:3, D:1 5 - A:4, B:2, C:3, D:1 6 - A:1, B:2, C:4, D:3 7 - A:2, B:1, C:4, D:3 8 - A:1, B:2, C:3, D:4 9 - A:3, B:2, C:1, D:4 10 - A:1, B:2, C:3, D:4

Желаю удачи на тесте по сезонным изменениям!

Новая Школа

О Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта