Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Треугольники

04 сентября 2025 14:20

{Другой предмет}
11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по теме "Треугольники" для 11 класса. Тип вопросов: открытые (схема решения ожидается). В конце каждого вопроса даны ответы/ключи к решениям.

  1. В треугольнике ABC стороны a = 5, b = 7, c = 6. Найдите углы A, B и C (углы против сторон a, b, c соответственно).
  • Ответ: A ≈ 44.4°, B ≈ 78.46°, C ≈ 57.14°. Обоснование: по теореме косинусов cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) и так далее.
  1. Докажите, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
  • Ответ: доказательство стандартное: можно опустить одну высоту или воспользоваться параллельными линиями и суммой углов при пересечении трансверзиями, либо через геометрическую площадь (площадь как половина произведения основания на высоту) и разложение на соседние треугольники.
  1. Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.
  • Ответ: s = (13+14+15)/2 = 21; K = sqrt(21·8·7·6) = sqrt(7056) = 84.
  1. Треугольник со сторонами 8, 15, 17. Докажите, что он прямоугольный, и найдите его площадь.
  • Ответ: 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2, значит прямоугольник. Площадь = (1/2)·8·15 = 60.
  1. Радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 5, 5, 6.
  • Ответ: сначала найдём площадь K по формуле Герона: s = 8, K = sqrt(8·3·3·2) = sqrt(144) = 12. Then R (радиус вписанной окружности) не нужен здесь — требуется радиус описанной окружности. Для описанной окружности R = abc/(4K) = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8 = 3.125. (Если спрашивался именно Rописанной, то 3.125.)
  1. Найдите координаты инцентрa треугольника с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3).
  • Ответ: I(1, 1). Обоснование: стороны против A, B, C равны a = BC = 5, b = CA = 3, c = AB = 4; инцентр имеет координаты (ax_A + bx_B + cx_C)/(a+b+c), и аналогично по y.
  1. В треугольнике со сторонами a = 7, b = 8, c = 9 найдите высоту h_c, опущенную на сторону c (то есть на сторону длиной 9).
  • Ответ: площадь K треугольника через Герон: s = 12, K = sqrt(12·5·4·3) = sqrt(720) = 12√5. Тогда h_c = 2K/c = 2·12√5 / 9 = 8√5/3 ≈ 5.9628.
  1. В треугольнике высота AH, опущенная на основание BC, равна 4.5, основание BC равно 9. Найдите площадь треугольника.
  • Ответ: S = (1/2)·BC·AH = (1/2)·9·4.5 = 20.25.
  1. Найдите центр массы (центр тяжести) треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  • Ответ: G = ((0+6+2)/3, (0+0+4)/3) = (8/3, 4/3) ≈ (2.667, 1.333).
  1. В равнобедренном треугольнике AB = AC = 5, угол при вершине A равен 40°. Найдите длину основания BC.
  • Ответ: BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A = 25 + 25 − 50 cos 40° = 50(1 − cos 40°). Численно BC ≈ sqrt(11.6978) ≈ 3.424.
  1. Радиус вписанной окружности треугольника 13, 14, 15.
  • Ответ: K = 84, s = (13+14+15)/2 = 21; r = K/s = 84/21 = 4.
  1. Доказать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 1/2 ab sin C.
  • Ответ: Пусть стороны a и b образуют угол C. Опустим высоту h на сторону a. Тогда S = (1/2)·a·h, а h = b sin C (проекция стороны b на высоту к a). Тогда S = (1/2)ab sin C. Можно привести ещё одно геометрическое доказательство через построение параллельной линии или через векторный подход.
  1. Площадь треугольника ABC, если AB = 7, AC = 9, угол ∠A = 60°.
  • Ответ: S = (1/2)·AB·AC·sin ∠A = (1/2)·7·9·sin 60° = (63/2)·(√3/2) = 63√3/4 ≈ 27.28.
  1. Прямоугольный треугольник с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3). Найдите координаты ортоцентра.
  • Ответ: Так как треугольник прямоугольный в вершине A, ортоцентр совпадает с вершиной A: H = A = (0,0).
  1. Докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид) и что отношение от вершины к центроиду внутри медианы равно 2:1. Пример для треугольника A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  • Ответ: Центроид G = (8/3, 4/3). На каждой медиане от вершины до середины противоположной стороны точка G делит медиану в отношении 2:1 (AG:GM = 2:1). Можно показать по формулам или графически.
  1. Найдите длины трёх медиан треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).
  • Ответ:
    • m_a (медиана к стороне BC): расстояние от A до середины BC; середина BC = ((6+2)/2, (0+4)/2) = (4,2); m_a = |A–M_BC| = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2√5 ≈ 4.472.
    • m_b (к стороне AC): середина AC = ((0+2)/2, (0+4)/2) = (1,2); m_b = |B–M_AC| = sqrt((6−1)^2 + (0−2)^2) = sqrt(25+4) = sqrt(29) ≈ 5.385.
    • m_c (к стороне AB): середина AB = ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3,0); m_c = |C–M_AB| = sqrt((2−3)^2 + (4−0)^2) = sqrt(1+16) = sqrt(17) ≈ 4.123.
  1. Докажите по SAS, что два треугольника равны, если две стороны треугольников равны и угол между ними равен.
  • Ответ: Рассмотрим ΔABC и ΔA'B'C' с AB = A'B', AC = A'C' и ∠A = ∠A'. По теореме SAS эти треугольники являются конгруэнтными (соответствующие стороны и включённый угол равны). Доказательство даётся через построение сопоставления сторон и углов и применение теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и включённому углу (классическая SAS-гомогенность).
  1. Найдите площадь треугольника со сторонами 9, 10, 17.
  • Ответ: s = 18; K = sqrt(18·9·8·1) = sqrt(1296) = 36.
  1. Найдите площадь треугольника, если основание BC = 20, высота к этому основанию AH = 12.
  • Ответ: S = (1/2)·20·12 = 120.
  1. Доказать, что треугольник со сторонами 9, 40, 41 является прямоугольным, и найти его площадь.
  • Ответ: 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2, следовательно, прямоугольный. Площадь = (1/2)·9·40 = 180.

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности, добавить или убрать проблемные блоки (теория+задачи на вычисление площади, длины сторон, координатные задачи и т. п.), или оформить тест в виде документа (приложение) для печати.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
5 Класс

Ниже представлен тест по истории для 5 класса. Тип вопросов — множественный выбор. Включены вопросы по Древнему Египту, Китаю, Палестине (Канане), Финикии, Месопотамии, Вавилонскому царству и Ассирийской державе, с указанием царей и дат правления.

  1. Где располагался Древний Египет?
  • A) Африка
  • B) Азия
  • C) Европа
  • D) Австралия
  1. Как называлось письмо финикийцев?
  • A) иероглифы
  • B) азбука
  • C) финикийский алфавит
  • D) клинопись
  1. Какая река является частью Месопотамии?
  • A) Нил
  • B) Евфрат
  • C) Янцзы
  • D) Инд
  1. Как назывался правитель Вавилона, создавший знаменитый Кодекс законов?
  • A) Хаммурапи
  • B) Навуходоносор II
  • C) Ашшурбанипал
  • D) Саргон II
  1. Как звали царя Ассирийской державы, который расширил её границы в VII веке до н. э.?
  • A) Саргон II
  • B) Ашшурбанипал
  • C) Навуходоносор II
  • D) Асар-Хададон
  1. В какой период правил Хаммурапи?
  • A) 3200–3100 до н. э.
  • B) 1792–1750 до н. э.
  • C) 1500–1400 до н. э.
  • D) 100–0 до н. э.
  1. Где располагалась Финикия?
  • A) на северо-западе Африки
  • B) побережье восточного Средиземноморья (современный Ливан и часть Сирии)
  • C) долина Инда
  • D) долина Нила
  1. Какая была столица Древнего Египта во времена Нового царства?
  • A) Мемфис
  • B) Фивы
  • C) Петра
  • D) Александрия
  1. Кто считается первым императором объединённого Китая?
  • A) Хуанди
  • B) Цинь Шихуанди
  • C) Ли Ши Мин
  • D) Небесный Император
  1. Какая держава славилась морской торговлей и изобрела один из первых алфавитов?
  • A) Египет
  • B) Китай
  • C) Финикия
  • D) Ассирия
  1. Какие две крупнейшие реки протекали через Месопотамию?
  • A) Нил и Ганг
  • B) Тигр и Евфрат
  • C) Енисей и Амур
  • D) Инд и Ганг
  1. Какой период правления Навуходоносора II связан с великим расцветом Вавилона?
  • A) 605–562 до н. э.
  • B) 722–705 до н. э.
  • C) 221–210 до н. э.
  • D) 1000–900 до н. э.

Ответы:

  1. A
  2. C
  3. B
  4. A
  5. A
  6. B
  7. B
  8. B
  9. B
  10. C
  11. B
  12. A
{Другой предмет}
9 Класс

Конечно! Ниже представлен тест по русскому языку на тему "Н и НН в прилагательных" для учеников 9 класса. Включены 10 вопросов с множественным выбором, а также правильные ответы.

Тест по русскому языку: Н и НН в прилагательных

Инструкция: Выберите один или несколько правильных вариантов ответов на каждый вопрос.

  1. В каком из приведённых прилагательных нужно поставить НН?
    a) красивый
    b) душевный
    c) ручной
    d) деревянный

Ответы: b), d)

  1. Выберите все правильные варианты, в которых прилагательное написано с "НН".
    a) спокойный
    b) яркий
    c) цветной
    d) ленивый

Ответы: a), d)

  1. Где правильно поставлены НН?
    a) тонкий
    b) тихий
    c) проволочный
    d) полезный

Ответы: c)

  1. В каком слове нужно написать НН?
    a) мягкий
    b) тряпичный
    c) мягенький
    d) горячий

Ответы: c)

  1. В каких из следующих словах правильно использовать две буквы Н?
    a) нежный
    b) уютный
    c) красивый
    d) сердечный

Ответы: a), d)

  1. Выберите все правильные варианты, где прилагательное пишется с одной Н.
    a) чистый
    b) лазурный
    c) шерстяной
    d) полынный

Ответы: b), c)

  1. Где необходимо поставить НН?
    a) крестьянский
    b) железный
    c) тяжелый
    d) деревенский

Ответы: a), b), d)

  1. Какое из следующих слов написано с двумя "Н"?
    a) южный
    b) пёстрый
    c) солнечный
    d) эффективный

Ответы: c), d)

  1. В каком случае прилагательное правильно пишется с одной Н?
    a) ледниковый
    b) ледяной
    c) ледяный
    d) ледниковый

Ответы: a), c)

  1. Выберите все варианты, где прилагательное написано с "НН".
    a) трогательный
    b) горшечный
    c) красочный
    d) приятный

Ответы: a), b)

Если нужно, я могу подготовить ещё более сложные вопросы или объяснить правила написания Н и НН.

{Другой предмет}
9 Класс

Вот тест по кинематики для 9 класса с множественным выбором. В конце теста будут представлены правильные ответы.

Тест по физике: Кинематика

Вопрос 1: Какой из следующих графиков демонстрирует равномерное движение?
a) График, которому соответствуют постоянные скорость и пройденный путь.
b) График, который демонстрирует ускорение.
c) График, в котором скорость совершенно не меняется.
d) График, который показывает изменение направления движения.

Вопрос 2: Какое из следующих определений наиболее точно описывает перемещение?
a) Это общее расстояние, пройденное телом.
b) Это величина, равная разности между начальным и конечным положением.
c) Это скорость тела за единицу времени.
d) Это изменение формы тела.

Вопрос 3: Если тело движется с ускорением, равным нулю, то:
a) Оно движется равномерно.
b) Оно движется с изменяющейся скоростью.
c) Оно покоится.
d) Оно движется со скоростью, равной нулю.

Вопрос 4: Какой из следующих физических величин является векторной?
a) Масса.
b) Время.
c) Ускорение.
d) Температура.

Вопрос 5: Что происходит с положением тела, если его скорость отрицательная, а ускорение положительное?
a) Тело ускоряется в положительном направлении.
b) Тело движется с постоянной скоростью.
c) Тело замедляется и движется в отрицательном направлении.
d) Тело изменяет направление и ускоряется.

Вопрос 6: Какова формула для расчета пути при равномерном движении?
a) S = V * t
b) S = V^2 / 2a
c) S = a * t^2
d) S = V * a

Вопрос 7: В каком случае тело будет иметь нулевое перемещение?
a) Если тело прошло равные расстояния в разных направлениях.
b) Если тело движется с постоянной скоростью.
c) Если тело находится на одном и том же месте.
d) a и c верны.

Вопрос 8: При каком условии тело будет иметь положительное ускорение?
a) Когда скорость уменьшается.
b) Когда скорость увеличивается.
c) Когда тело находится в покое.
d) Когда тело движется равномерно.

Вопрос 9: Что такое мгновенная скорость?
a) Это скорость, которую тело имеет в течение всего времени движения.
b) Это скорость, которую тело имеет в конкретный момент времени.
c) Это средняя скорость за весь путь.
d) Это максимальная скорость, которую может развить тело.

Вопрос 10: Как будет выглядеть график зависимости скорости от времени для тела, движущегося с постоянным ускорением?
a) Прямая линия, наклоненная к оси времени.
b) Гипербола.
c) Горизонтальная прямая.
d) Перпендикулярная прямая.

Ответы на тест:

  1. a
  2. b
  3. a
  4. c
  5. c
  6. a
  7. d
  8. b
  9. b
  10. a

Этот тест поможет школьникам проверить свои знания в области кинематики. Удачи в учёбе!

{Другой предмет}
8 Класс

Test: English Language

Topic: to care about, to concentrate on, to be absent from

Class: 8

Question 1:
Match the following phrases with their meanings:
A. to care about
B. to concentrate on
C. to be absent from

  1. Show concern or interest in
  2. Focus all attention on
  3. Not present

Question 2:
Match the following sentences with the correct phrase:
A. She always _______________ her health.
B. Students should _______________ their studies.
C. He was _______________ the meeting yesterday.

  1. to care about
  2. to concentrate on
  3. to be absent from

Question 3:
Match the following scenarios with the correct phrase:
A. Maria missed the exam because she was sick.
B. Peter spends hours practicing basketball every day.
C. The teacher asked about why John was not in class.

  1. to care about
  2. to concentrate on
  3. to be absent from

Question 4:
Match the following definitions with the correct phrase:
A. Showing interest in someone or something
B. Giving all your attention to something
C. Not being present

  1. to care about
  2. to concentrate on
  3. to be absent from

Question 5:
Match the following examples with the correct phrase:
A. Sarah is always concerned about the environment.
B. James focused solely on preparing for the exam.
C. David skipped school yesterday without any explanation.

  1. to care about
  2. to concentrate on
  3. to be absent from

Note: This test is provided without answers for self-assessment.

Good luck!

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта