Новая школа

Ниже представлен тест по теме "Треугольники" для 11 класса. Тип вопросов: открытые (схема решения ожидается). В конце каждого вопроса даны ответы/ключи к решениям.

В треугольнике ABC стороны a = 5, b = 7, c = 6. Найдите углы A, B и C (углы против сторон a, b, c соответственно).

Ответ: A ≈ 44.4°, B ≈ 78.46°, C ≈ 57.14°. Обоснование: по теореме косинусов cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) и так далее.

Докажите, что сумма углов любого треугольника равна 180°.

Ответ: доказательство стандартное: можно опустить одну высоту или воспользоваться параллельными линиями и суммой углов при пересечении трансверзиями, либо через геометрическую площадь (площадь как половина произведения основания на высоту) и разложение на соседние треугольники.

Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Ответ: s = (13+14+15)/2 = 21; K = sqrt(21·8·7·6) = sqrt(7056) = 84.

Треугольник со сторонами 8, 15, 17. Докажите, что он прямоугольный, и найдите его площадь.

Ответ: 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2, значит прямоугольник. Площадь = (1/2)·8·15 = 60.

Радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 5, 5, 6.

Ответ: сначала найдём площадь K по формуле Герона: s = 8, K = sqrt(8·3·3·2) = sqrt(144) = 12. Then R (радиус вписанной окружности) не нужен здесь — требуется радиус описанной окружности. Для описанной окружности R = abc/(4K) = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8 = 3.125. (Если спрашивался именно Rописанной, то 3.125.)

Найдите координаты инцентрa треугольника с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3).

Ответ: I(1, 1). Обоснование: стороны против A, B, C равны a = BC = 5, b = CA = 3, c = AB = 4; инцентр имеет координаты (ax_A + bx_B + cx_C)/(a+b+c), и аналогично по y.

В треугольнике со сторонами a = 7, b = 8, c = 9 найдите высоту h_c, опущенную на сторону c (то есть на сторону длиной 9).

Ответ: площадь K треугольника через Герон: s = 12, K = sqrt(12·5·4·3) = sqrt(720) = 12√5. Тогда h_c = 2K/c = 2·12√5 / 9 = 8√5/3 ≈ 5.9628.

В треугольнике высота AH, опущенная на основание BC, равна 4.5, основание BC равно 9. Найдите площадь треугольника.

Ответ: S = (1/2)·BC·AH = (1/2)·9·4.5 = 20.25.

Найдите центр массы (центр тяжести) треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).

Ответ: G = ((0+6+2)/3, (0+0+4)/3) = (8/3, 4/3) ≈ (2.667, 1.333).

В равнобедренном треугольнике AB = AC = 5, угол при вершине A равен 40°. Найдите длину основания BC.

Ответ: BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A = 25 + 25 − 50 cos 40° = 50(1 − cos 40°). Численно BC ≈ sqrt(11.6978) ≈ 3.424.

Радиус вписанной окружности треугольника 13, 14, 15.

Ответ: K = 84, s = (13+14+15)/2 = 21; r = K/s = 84/21 = 4.

Доказать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 1/2 ab sin C.

Ответ: Пусть стороны a и b образуют угол C. Опустим высоту h на сторону a. Тогда S = (1/2)·a·h, а h = b sin C (проекция стороны b на высоту к a). Тогда S = (1/2)ab sin C. Можно привести ещё одно геометрическое доказательство через построение параллельной линии или через векторный подход.

Площадь треугольника ABC, если AB = 7, AC = 9, угол ∠A = 60°.

Ответ: S = (1/2)·AB·AC·sin ∠A = (1/2)·7·9·sin 60° = (63/2)·(√3/2) = 63√3/4 ≈ 27.28.

Прямоугольный треугольник с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3). Найдите координаты ортоцентра.

Ответ: Так как треугольник прямоугольный в вершине A, ортоцентр совпадает с вершиной A: H = A = (0,0).

Докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид) и что отношение от вершины к центроиду внутри медианы равно 2:1. Пример для треугольника A(0,0), B(6,0), C(2,4).

Ответ: Центроид G = (8/3, 4/3). На каждой медиане от вершины до середины противоположной стороны точка G делит медиану в отношении 2:1 (AG:GM = 2:1). Можно показать по формулам или графически.

Найдите длины трёх медиан треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).

Ответ:
- m_a (медиана к стороне BC): расстояние от A до середины BC; середина BC = ((6+2)/2, (0+4)/2) = (4,2); m_a = |A–M_BC| = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2√5 ≈ 4.472.
- m_b (к стороне AC): середина AC = ((0+2)/2, (0+4)/2) = (1,2); m_b = |B–M_AC| = sqrt((6−1)^2 + (0−2)^2) = sqrt(25+4) = sqrt(29) ≈ 5.385.
- m_c (к стороне AB): середина AB = ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3,0); m_c = |C–M_AB| = sqrt((2−3)^2 + (4−0)^2) = sqrt(1+16) = sqrt(17) ≈ 4.123.

Докажите по SAS, что два треугольника равны, если две стороны треугольников равны и угол между ними равен.

Ответ: Рассмотрим ΔABC и ΔA'B'C' с AB = A'B', AC = A'C' и ∠A = ∠A'. По теореме SAS эти треугольники являются конгруэнтными (соответствующие стороны и включённый угол равны). Доказательство даётся через построение сопоставления сторон и углов и применение теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и включённому углу (классическая SAS-гомогенность).

Найдите площадь треугольника со сторонами 9, 10, 17.

Ответ: s = 18; K = sqrt(18·9·8·1) = sqrt(1296) = 36.

Найдите площадь треугольника, если основание BC = 20, высота к этому основанию AH = 12.

Ответ: S = (1/2)·20·12 = 120.

Доказать, что треугольник со сторонами 9, 40, 41 является прямоугольным, и найти его площадь.

Ответ: 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2, следовательно, прямоугольный. Площадь = (1/2)·9·40 = 180.

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности, добавить или убрать проблемные блоки (теория+задачи на вычисление площади, длины сторон, координатные задачи и т. п.), или оформить тест в виде документа (приложение) для печати.

Тест по математике на тему "Бесконечная периодическая дробь" (6 класс)

Инструкции: Ответьте на следующие открытые вопросы. Пишите свои ответы четко и подробно.

Вопрос 1: Что такое бесконечная периодическая дробь? Приведите пример.

Ответ: Бесконечная периодическая дробь – это дробь, которая имеет бесконечно повторяющиеся цифры после запятой. Пример: 0,333... (третья часть), где '3' повторяется бесконечно.

Вопрос 2: Какую дробь можно представить как бесконечную периодическую дробь 0,666... ?

Ответ: Бесконечная периодическая дробь 0,666... равна 2/3.

Вопрос 3: Запишите, как выглядит бесконечная периодическая дробь с периодом 3, и напишите, как её можно выразить в виде обыкновенной дроби.

Ответ: Бесконечная периодическая дробь с периодом 3 записывается как 0,3(3) = 0,333... и равна 1/3.

Вопрос 4: Как можно преобразовать бесконечную периодическую дробь в обыкновенную дробь? Опишите пошагово.

Ответ:
1. Обозначьте дробь (например, x = 0,666...).
2. Умножьте на 10 (10x = 6,666...).
3. Вычтите из первого уравнения (10x - x = 6,666... - 0,666...).
4. Упростите (9x = 6).
5. Найдите x (x = 6/9 = 2/3).

Вопрос 5: Приведите пример числа, у которого период начинается не с первого знака после запятой, и объясните, как это влияет на запись дроби.

Ответ: Пример: 0,1(23) (то есть 0,1232323...). Это число можно выразить в виде дроби, при этом приходится отделять целую часть от периодической.

Вопрос 6: Как вы можете проверить, является ли данная десятичная дробь периодической?

Ответ: Нужно наблюдать за цифрами: если в дроби есть последовательность цифр, которая повторяется бесконечно, то дробь периодическая.

Вопрос 7: Найдите значение дроби 0,12(34) аналогично тому, как вы это делали в вопросе 4.

Ответ:
1. Обозначьте дробь (x = 0,123434...).
2. Умножьте на 1000 (1000x = 123,434343...).
3. Умножьте на 100 (100x = 12,343434...).
4. Вычтите: (1000x - 100x) = 123,434343... - 12,343434...
5. Упростите: 900x = 111.
6. Найдите x: x = 111/900.

Вопрос 8: Как влияет период на длину десятичного представления дроби? Приведите примеры.

Ответ: Чем больше период, тем длиннее десятичное представление дроби, например, 0,1(234) будет иметь более длинное представление, чем 0,1(2).

Вопрос 9: Как можно выразить 0,75 как бесконечную периодическую дробь?

Ответ: 0,75 = 0,750000... = 0,75(00), но это не является периодической дробью в классическом понимании.

Вопрос 10: Как вы можете сравнить две бесконечные периодические дроби? Приведите пример.

Ответ: Сравните их значения, например, 0,333... и 0,666... можно сравнить так: 0,333... < 0,666...

Вопрос 11: Если периодическая дробь имеет нулевой период, что это означает о числе?

Ответ: Это означает, что дробь является конечной десятичной дробью, то есть она не имеет бесконечного повторения (например, 0,5000... = 0,5).

Вопрос 12: Каковы возможные применения бесконечных периодических дробей в реальной жизни? Приведите примеры.

Ответ: Применение находит в финансах (кредитные проценты), в науке (определение математических констант) и в алгоритмах обработки чисел.

Вопрос 13: Как можно записать дробь 5/12 в виде бесконечной периодической дроби?

Ответ: 5/12 = 0,41(6), где 6 – периодическая часть.

Вопрос 14: Объясните, как строить график бесконечной периодической дроби.

Ответ: На графике делается отметка значений, и видно, что дробь колеблется между двумя значениями, создавая периодические колебания вдоль линии.

Вопрос 15: Какие ошибки можно сделать при работе с бесконечными периодическими дробями? Приведите примеры.

Ответ: Ошибки включают неправильное умножение или сложение дробей, а также игнорирование периода, что может снизить точность расчетов.

Завершение теста
Спасибо за ваши ответы! Убедитесь, что вы внимательно проверили каждую запись. Удачи!

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Треугольники

Популярные тесты

Тест по английскому языку для 5 класса: Повелительное наклонение

Тест по математике на тему "Бесконечная периодическая дробь" (6 класс)

Тест по предмету «Обществознание» на тему «Духовная культура»

Вопросы

Ответы