Тест на тему квадратный корень и его свойства мтепень с целым показателем и его свойства квадратное уравнение решение текстовых задач линейные неравенства с одной переменной функции и их графики

Ниже представлен тест по алгебре для 8 класса. Тест состоит из 20 открытых вопросов. После вопросов приводится ключ с краткими ответами и пояснениями.

Тест

1. Упростите выражение: √49 + √18 − 2√2.
2. Упростите выражение: (2^3)^4.
3. Упростите: 5^(-2).
4. Упростите: (−3)^5.
5. Упростите: (2a^3)^2.
6. Решите уравнение: x^2 − 5x + 6 = 0.
7. Решите уравнение: x^2 − 4x − 5 = 0.
8. Текстовая задача: Длина стороны l и другая сторона l − 1, площадь прямоугольника равна 56 м^2. Найдите размеры.
9. Решите текстовую задачу: x^2 + 3x = 0.
10. Решите неравенство: 2x + 3 > 7.
11. Опишите график линейной функции y = −2x + 4 (укажите наклон, перехваты, точки пересечения с осями).
12. Найдите значение функции f(x) = x^2 − 3x + 2 при x = 4.
13. Упростите: √72 + √50 − √2.
14. Упростите: (√x)^2. Укажите условие на x.
15. Найдите значение a^0, если a ≠ 0.
16. Опишите график функции y = |x − 3| (вершина, ось симметрии, направление ветвей).
17. Решите неравенство: |x − 4| ≤ 3.
18. Упростите: (ab)^4.
19. Решите уравнение: x^2 − 9 = 0.
20. Задача на квадратное уравнение из текстовой задачи: Прямоугольник имеет стороны x и x − 4 см, площадь 60 см^2. Найдите размеры.

Ключ к ответам

1. 7 + √2 Обоснование: √49 = 7; √18 = √(9·2) = 3√2; 2√2; итого 7 + 3√2 − 2√2 = 7 + √2.
2. 4096 Обоснование: (2^3)^4 = 2^(3·4) = 2^12 = 4096.
3. 1/25 Обоснование: 5^(-2) = 1/(5^2) = 1/25.
4. −243 Обоснование: (−3)^5 = −(3^5) = −243.
5. 4a^6 Обоснование: (2a^3)^2 = 2^2 · (a^3)^2 = 4a^6.
6. x = 2, 3 Обоснование: x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x = 2 или x = 3.
7. x = 5, x = −1 Обоснование: x^2 − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) = 0 → x = 5 или x = −1.
8. Длина = 8 м, ширина = 7 м Обоснование: l(l − 1) = 56 → l^2 − l − 56 = 0 → (l − 8)(l + 7) = 0 → l = 8 (отрицательное решение отбросим).
9. x = 0, x = −3 Обоснование: x^2 + 3x = x(x + 3) = 0 → x = 0 или x = −3.
10. x > 2 Обоснование: 2x + 3 > 7 → 2x > 4 → x > 2.
11. График прямая, наклон −2, y-перехват = 4; x-пересечение при y = 0 → x = 2. Обоснование: для y = −2x + 4 наклон −2; когда x = 0, y = 4; при y = 0, x = 2.
12. 6 Обоснование: f(4) = 4^2 − 3·4 + 2 = 16 − 12 + 2 = 6.
13. 10√2 Обоснование: √72 = 6√2; √50 = 5√2; суммируем: 6√2 + 5√2 − √2 = 10√2.
14. x, при x ≥ 0 Обоснование: (√x)^2 = x при условии x ≥ 0, так как √x определен для x ≥ 0.
15. 1 Обоснование: a^0 = 1 для любого a ≠ 0.
16. График V-образный, вершина в (3, 0); ось симметрии x = 3; график открывается вверх. Обоснование: функция y = |x − 3| сдвинута вправо на 3.
17. x ∈ [1, 7] Обоснование: |x − 4| ≤ 3 → −3 ≤ x − 4 ≤ 3 → 1 ≤ x ≤ 7.
18. a^4 b^4 Обоснование: (ab)^4 = a^4 b^4.
19. x = −3, x = 3 Обоснование: x^2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 или x = −3.
20. Размеры 10 см и 6 см Обоснование: x(x − 4) = 60 → x^2 − 4x − 60 = 0 → Δ = 16 + 240 = 256; x = (4 ± 16)/2 → x = 10 или x = −6; выбираем положительное: x = 10, ширина = 10 − 4 = 6.