Новая школа

Ниже представлен тест по теме: «Степень с рациональным показателем» для 11 класса. Тип вопросов: открытый. Всего 15 вопросов. В конце каждого вопроса приведён образец ответа (краткий разбор или решение), чтобы учитель мог проверить знание и порядок действий.

Название: Алгебра. Степень с рациональным показателем. Класс: 11. Тип вопросов: открытый. Количество вопросов: 15. Вывод теста с ответами: да.

Вычислите 27^(4/3).

Ответ: 81
Обоснование: ∛27 = 3, затем 3^4 = 81.

Вычислите 8^(2/3).

Ответ: 4
Обоснование: ∛8 = 2, 2^2 = 4.

Вычислите (-8)^(5/3).

Ответ: -32
Обоснование: ∛(-8) = -2, (-2)^5 = -32.

Выразите 4^(−3/4) в виде дробной степени или корня.

Ответ: 4^(−3/4) = √2 / 4
Обоснование: 4^(−3/4) = 1 / 4^(3/4) = 1 / ( (4^(1/4))^3 ) = 1 / ( (√2)^3 ) = 1 / (2√2) = √2/4.

Упростите выражение a^(3/2) · a^(1/2) (при a > 0).

Ответ: a^2
Обоснование: a^(3/2) · a^(1/2) = a^((3/2)+(1/2)) = a^2.

Найдите x, если x^(3/4) = 8. Укажите область определения.

Ответ: x = 16 (при x ≥ 0)
Обоснование: x = 8^(4/3) = (∛8)^4 = 2^4 = 16. Для вещественных значений требуется x ≥ 0, чтобы 4-я корень существовал в действительных числах.

Найдите решение уравнения x^(2/3) = −1 (все вещественные решения).

Ответ: решений в вещественных числах нет
Обоснование: x^(2/3) = (∛x)^2 ≥ 0, не может быть −1.

Вычислите 4^(−1/2).

Ответ: 1/2
Обоснование: 4^(−1/2) = 1 / √4 = 1/2.

Вычислите 9^(3/2).

Ответ: 27
Обоснование: √9 = 3, 3^3 = 27.

Упростите произведение √a · a^(3/4) (при a ≥ 0).

Ответ: a^(5/4) = √[4]{a^5}
Обоснование: √a = a^(1/2), следовательно (1/2) + (3/4) = 5/4.

Приведите к одному основанию: (b^(4/3))^(1/2).

Ответ: b^(2/3) = ∛(b^2)
Обоснование: (b^(4/3))^(1/2) = b^(4/3 · 1/2) = b^(2/3).

Найдите x, если x^(5/6) = 32.

Ответ: x = 64
Обоснование: 32 = 2^5, x = 32^(6/5) = (2^5)^(6/5) = 2^6 = 64.

Объясните условия определения рациональных степеней и приведите примеры.

Ответ (примерный образец):
- Если показатель дроби имеет чётный знаменатель (например p/q, q чётно), то для вещественного значения базис должен быть неотрицательным: например, (-4)^(1/2) не определён как вещественное число, тогда как 4^(1/2) = 2.
- Если знаменатель нечётный (q нечётно), то базис можно взять любым вещественным: например, (-8)^(1/3) = -2, а (-8)^(2/3) = ((-8)^(1/3))^2 = 4.
- Пример для иллюстрации: (-8)^(4/3) = ((-8)^(1/3))^4 = (-2)^4 = 16.

Вычислите 64^(−3/4).

Ответ: √2 / 32
Обоснование: 64^(3/4) = (64^(1/4))^3; 64^(1/4) = √√64 = √8 = 2√2; (2√2)^3 = 16√2; значит 64^(−3/4) = 1/(16√2) = √2/32.

Дайте обоснование и примеры правил работы с рациональными степенями: a^(p/q) · a^(r/q) = a^((p+r)/q) для a > 0; что происходит, если a < 0 и q нечётно?

Ответ:
- Для a > 0 правило выполняется без ограничений: a^(p/q) · a^(r/q) = a^((p+r)/q).
- Для a < 0 и q нечётно: можно корректно работать через корни нечётной степени, т.е. a^(1/q) определим как q-й корень из a, который есть вещественное число; тогда a^(p/q) вычисляется через (a^(1/q))^p. Пример: a = −1, q = 3, p = r = 1: (−1)^(1/3) = −1, поэтому (−1)^(1/3) · (−1)^(1/3) = (−1) · (−1) = 1, и (-1)^((1+1)/3) = (-1)^(2/3) = 1.
- Для a < 0 и q чётно такие выражения не являются вещественными (например, a^(1/2) не определён на вещественных числах), поэтому область определения ограничена.
- В целом: при работе с рациональными показателями необходимо учитывать знак базиса и чётность знаменателя.

Если хотите, могу распечатать в виде экзаменационного варианта с пустыми полями для ответов или добавить дополнительные задания разной сложности. Также могу адаптировать вопросы под конкретную программу или требования учителя.

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Степень с рациональным показателем

Популярные тесты

Тест по биологии для 5 класса

Тема: Клетка