Тест на тему Степень с рациональным показателем

Ниже представлен тест по теме: «Степень с рациональным показателем» для 11 класса. Тип вопросов: открытый. Всего 15 вопросов. В конце каждого вопроса приведён образец ответа (краткий разбор или решение), чтобы учитель мог проверить знание и порядок действий.

Название: Алгебра. Степень с рациональным показателем. Класс: 11. Тип вопросов: открытый. Количество вопросов: 15. Вывод теста с ответами: да.

1. Вычислите 27^(4/3).

• Ответ: 81
• Обоснование: ∛27 = 3, затем 3^4 = 81.

2. Вычислите 8^(2/3).

• Ответ: 4
• Обоснование: ∛8 = 2, 2^2 = 4.

3. Вычислите (-8)^(5/3).

• Ответ: -32
• Обоснование: ∛(-8) = -2, (-2)^5 = -32.

4. Выразите 4^(−3/4) в виде дробной степени или корня.

• Ответ: 4^(−3/4) = √2 / 4
• Обоснование: 4^(−3/4) = 1 / 4^(3/4) = 1 / ( (4^(1/4))^3 ) = 1 / ( (√2)^3 ) = 1 / (2√2) = √2/4.

5. Упростите выражение a^(3/2) · a^(1/2) (при a > 0).

• Ответ: a^2
• Обоснование: a^(3/2) · a^(1/2) = a^((3/2)+(1/2)) = a^2.

6. Найдите x, если x^(3/4) = 8. Укажите область определения.

• Ответ: x = 16 (при x ≥ 0)
• Обоснование: x = 8^(4/3) = (∛8)^4 = 2^4 = 16. Для вещественных значений требуется x ≥ 0, чтобы 4-я корень существовал в действительных числах.

7. Найдите решение уравнения x^(2/3) = −1 (все вещественные решения).

• Ответ: решений в вещественных числах нет
• Обоснование: x^(2/3) = (∛x)^2 ≥ 0, не может быть −1.

8. Вычислите 4^(−1/2).

• Ответ: 1/2
• Обоснование: 4^(−1/2) = 1 / √4 = 1/2.

9. Вычислите 9^(3/2).

• Ответ: 27
• Обоснование: √9 = 3, 3^3 = 27.

10. Упростите произведение √a · a^(3/4) (при a ≥ 0).

• Ответ: a^(5/4) = √[4]{a^5}
• Обоснование: √a = a^(1/2), следовательно (1/2) + (3/4) = 5/4.

11. Приведите к одному основанию: (b^(4/3))^(1/2).

• Ответ: b^(2/3) = ∛(b^2)
• Обоснование: (b^(4/3))^(1/2) = b^(4/3 · 1/2) = b^(2/3).

12. Найдите x, если x^(5/6) = 32.

• Ответ: x = 64
• Обоснование: 32 = 2^5, x = 32^(6/5) = (2^5)^(6/5) = 2^6 = 64.

13. Объясните условия определения рациональных степеней и приведите примеры.

• Ответ (примерный образец):
  • Если показатель дроби имеет чётный знаменатель (например p/q, q чётно), то для вещественного значения базис должен быть неотрицательным: например, (-4)^(1/2) не определён как вещественное число, тогда как 4^(1/2) = 2.
  • Если знаменатель нечётный (q нечётно), то базис можно взять любым вещественным: например, (-8)^(1/3) = -2, а (-8)^(2/3) = ((-8)^(1/3))^2 = 4.
  • Пример для иллюстрации: (-8)^(4/3) = ((-8)^(1/3))^4 = (-2)^4 = 16.

14. Вычислите 64^(−3/4).

• Ответ: √2 / 32
• Обоснование: 64^(3/4) = (64^(1/4))^3; 64^(1/4) = √√64 = √8 = 2√2; (2√2)^3 = 16√2; значит 64^(−3/4) = 1/(16√2) = √2/32.

15. Дайте обоснование и примеры правил работы с рациональными степенями: a^(p/q) · a^(r/q) = a^((p+r)/q) для a > 0; что происходит, если a < 0 и q нечётно?

• Ответ:
  • Для a > 0 правило выполняется без ограничений: a^(p/q) · a^(r/q) = a^((p+r)/q).
  • Для a < 0 и q нечётно: можно корректно работать через корни нечётной степени, т.е. a^(1/q) определим как q-й корень из a, который есть вещественное число; тогда a^(p/q) вычисляется через (a^(1/q))^p. Пример: a = −1, q = 3, p = r = 1: (−1)^(1/3) = −1, поэтому (−1)^(1/3) · (−1)^(1/3) = (−1) · (−1) = 1, и (-1)^((1+1)/3) = (-1)^(2/3) = 1.
  • Для a < 0 и q чётно такие выражения не являются вещественными (например, a^(1/2) не определён на вещественных числах), поэтому область определения ограничена.
  • В целом: при работе с рациональными показателями необходимо учитывать знак базиса и чётность знаменателя.

Если хотите, могу распечатать в виде экзаменационного варианта с пустыми полями для ответов или добавить дополнительные задания разной сложности. Также могу адаптировать вопросы под конкретную программу или требования учителя.