Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52

Посмотреть все тесты нейросети

Конструктор домашек ЕГЭ

Генератор тестов

Тренажёр ЕГЭ

Тест на тему Функции

10 сентября 2025 15:43

{Другой предмет}

9 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по алгебре для 9 класса на тему «Функции». Тип вопросов: открытый. Количество вопросов: 20. Включены ответы.

Инструкция: записывайте ответы и кратко показывайте расчёты там, где это требуется. В конце приведён пример решения (ответы) к каждому вопросу.

Задания

Найдите значение функции f при f(x) = 4x − 7 в точке x = 9. Что получится?
Определите область определения функции f(x) = sqrt(2x + 3).
Найдите область значений функции f(x) = x^2 − 5x + 6.
Определите, является ли функция f(x) = x^3 − x четной, нечетной или не принадлежит ни к одной группе.
Найдите обратную функцию к f(x) = 2x − 5.
Пусть f(x) = 2x + 1 и g(x) = x − 3. Найдите (f ∘ g)(x) и (g ∘ f)(x).
Найдите корни функции f(x) = x^2 − 9.
Определите область определения функции f(x) = sqrt(3x − 2) + 1/(x − 4).
Для функции f(x) = 3x^2 − 12x + 5 на отрезке [0, 4] определите, на каких подотрезках функция возрастает и на каких убывает.
Найдите вертикальную асимптоту и косую (обобщённую) горизонтальную (или косую) асимптоту рациональной функции f(x) = (2x^2 − 3)/(x − 5).
Найдите обратную функцию к f(x) = (x − 1)/(x + 2) и укажите область определения обратной функции.
Охарактеризуйте преобразование графика f(x) = x^2 в график f1(x) = (x − 3)^2 + 4: какое смещение по оси OX и по оси OY произошло?
Найдите вершину параболы, заданной f(x) = x^2 − 6x + 5.
Решите уравнение f(x) = 12, где f(x) = x^2 + 2x.
Вычислите значения f(1) и f(4) для функции f(x) = sqrt(x) + 1/x, при условии x > 0.
Пусть f(x) = sqrt(x), g(x) = x − 7. Найдите (g ∘ f)(x) и задайте область определения результата.
Опишите влияние параметра a на график функции f_a(x) = a|x|: как меняется график при разных знаках и значениях a?
Определите непрерывность функции f(x) = 1/(x^2 + 1) на всей вещественной оси.
Опишите монотонность функции f(x) = ln x на её естественной области определения (0, ∞).
Определите область определения функции f(x) = log_2(x − 1) и найдите значение f(4).

Ответы

f(9) = 4·9 − 7 = 36 − 7 = 29.
sqrt: 2x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3/2. Область: [−3/2, +∞).
f(x) = x^2 − 5x + 6. Это парабола с минимумом при x = 5/2. Значение минимума: (5/2)^2 − 5·(5/2) + 6 = 25/4 − 25/2 + 6 = −1/4. Следовательно, область значений: [−1/4, +∞).
f(−x) = (−x)^3 − (−x) = −x^3 + x = −(x^3 − x) = −f(x). Следовательно, функция нечетная.
y = 2x − 5. Обратная функция: f^−1(y) = (y + 5)/2. То же в виде функции от x: f^−1(x) = (x + 5)/2. Область значения исходной функции является областью определения обратной, т.е. весь R.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2(x − 3) + 1 = 2x − 5. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (2x + 1) − 3 = 2x − 2.
x^2 − 9 = 0 ⇒ x = −3 или x = 3.
3x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2/3; x ≠ 4. Область: [2/3, ∞) \ {4}.
f'(x) = 6x − 12. На [0, 4]: ниже нуля на [0, 2), равен нулю в x = 2, положителен на (2, 4]. Значит: убывает на [0, 2], возрастает на [2, 4].
Вертикальная асимптота: x = 5. Деление (2x^2 − 3)/(x − 5) даёт обобщённую асимптоту y = 2x + 10 (поглядели на частное). Так что косая асимптота y = 2x + 10.
y = (x − 1)/(x + 2) ⇒ x = (1 + 2y)/(1 − y). Обратная функция: f^−1(y) = (1 + 2y)/(1 − y). Область определения обратной: y ≠ 1; область значений исходной функции: все значения y ≠ 1, т.е. R {1}. Значение обратной: f^−1(x) = (1 + 2x)/(1 − x), x ≠ 1.
f1(x) = (x − 3)^2 + 4 получается из f(x) = x^2 сдвигом: вправо на 3 и вверх на 4.
Вершина параболы f(x) = x^2 − 6x + 5: (3, −4).
x^2 + 2x = 12 ⇒ x^2 + 2x − 12 = 0 ⇒ x = −1 ± √13. Приближённо x ≈ 2,606 или x ≈ −4,606.
f(1) = sqrt(1) + 1/1 = 1 + 1 = 2. f(4) = sqrt(4) + 1/4 = 2 + 0.25 = 2.25.
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = f(x) − 7 = sqrt(x) − 7. Область: x ≥ 0.
f_a(x) = a|x|: график V-образный, вершина в (0,0). Если a > 0, график раскрывается вверх (значение минимальное). Чем больше |a|, тем круче боковые ветви; если a < 0, график перевёрнут вверх вниз (вершина остаётся в (0,0); график достигает максимума в x = 0 равного 0 и опускается вниз по бокам). При a = 0 график становится нулевой полосой.
1/(x^2 + 1) непрерывна на всей R, так как знаменатель всегда положителен и не обращается в ноль.
f(x) = ln x на (0, ∞) строго возрастает (производная 1/x > 0). Значит функция возрастает на своей области определения.
f(x) = log_2(x − 1): область определения x − 1 > 0 ⇒ x > 1. Значение в точке x = 4: f(4) = log_2(3) ≈ 1.585.

Если нужна, могу адаптировать задания под конкретные требования вашего учебника или дать более подробные решения по каждому пункту.

Сгенерировать свой тест

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Функции

Популярные тесты