Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52
Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Условная вероятность. Формула произведения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимость событий. Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра Лапласа

11 сентября 2025 06:38

{Другой предмет}
11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по алгебре на тему условной вероятности и связанных формул. Тип вопросов: открытый. Класс: 11. Количество вопросов: 8. Ответы приведены после каждого задания.

  1. Условная вероятность и формула произведения В ящике 4 красных и 3 синих шара. Тянут два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что второй шар окажется красным. Используйте формулу произведения вероятностей и формулу полной вероятности. Ответ:
  • P(первый красный) = 4/7, P(первый синий) = 3/7.
  • Если первый красный, то второй красный: P(второй красный | первый красный) = 3/6.
  • Если первый синий, то второй красный: P(второй красный | первый синий) = 4/6.
  • По полной вероятности: P(второй красный) = (3/6)(4/7) + (4/6)(3/7) = 12/42 + 12/42 = 24/42 = 4/7.
  • Ответ: 4/7.
  1. Формула полной вероятности В класс необходимо 60% учеников онлайн и 40% очно. Вероятность того, что ученик сдал тест онлайн, равна 0.80, очно — 0.90. Найдите общую долю учащихся, которые сдали тест. Ответ:
  • P(сдал) = P(сдал | онлайн)P(онлайн) + P(сдал | очно)P(очно) = 0.80·0.60 + 0.90·0.40 = 0.48 + 0.36 = 0.84.
  • Ответ: 0.84 (84%).
  1. Формула Байеса В медицинском тесте вероятность болезни P(D) = 0.01. Тест положителен при болезни с вероятностью P(Pos|D) = 0.99, а ложноположительный результат при отсутствии болезни: P(Pos|¬D) = 0.05. Найдите вероятность того, что пациент действительно болен при положительном тесте: P(D|Pos). Ответ:
  • P(Pos) = P(Pos|D)P(D) + P(Pos|¬D)P(¬D) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594.
  • P(D|Pos) = P(Pos|D)P(D) / P(Pos) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667.
  • Ответ: примерно 0.167 (16,7%).
  1. Независимость событий Лотерея: два независимых события A и B с P(A) = 0.4 и P(B) = 0.5. Вероятность того, что произойдут оба события, равна? Ответ:
  • За независимости P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.4·0.5 = 0.20.
  • Ответ: 0.20 (20%).
  1. Формула Бернулли (биномиальное распределение) Вероятность успеха в одном испытании p = 0.30, число независимых испытаний n = 5. Найдите вероятность того, что будет ровно k = 2 успеха: P(X = 2). Ответ:
  • P(X = 2) = C(5,2) p^2 (1-p)^(5-2) = 10 · 0.09 · 0.343 = 0.3087.
  • Также можно указать ожидание E[X] = np = 1.5 и дисперсию Var(X) = np(1-p) = 1.05.
  • Ответ: примерно 0.309.
  1. Теорема Пуассона Звонки в кол-центр распределены по пуассоновскому процессу со средним λ = 4 звонка в час. Найдите вероятность, что за час будет ровно 6 звонков: P(X = 6). Ответ:
  • P(X = 6) = e^(-4) 4^6 / 6! = e^(-4) · 4096 / 720 ≈ 0.1042.
  • Ответ: примерно 0.104.
  1. Центральная предельная теорема (Муавра–Лапласа) и её применение Пусть X_i — независимы и одинаково распределены как бернуллиевский эксперимент с p = 0.5. Пусть S_n = X_1 + ... + X_n, для n = 100. Используя ЦПТ, приближенно найдите P(47 ≤ S_100 ≤ 53). Учтите непрерывное приближение (continuity correction) по нормальному распределению. Ответ:
  • μ = n p = 50, σ^2 = n p q = 100·0.5·0.5 = 25, σ = 5.
  • Применяем коррекцию: 46.5 ≤ S_100 ≤ 53.5.
  • z1 = (46.5 − 50)/5 = −0.7, z2 = (53.5 − 50)/5 = 0.7.
  • P ≈ Φ(0.7) − Φ(−0.7) = 2Φ(0.7) − 1. Значение Φ(0.7) примерно 0.758. Поэтому P ≈ 2·0.758 − 1 ≈ 0.516.
  • Ответ: примерно 0.516 (51.6%).
  1. Локальная теорема Муавра–Лапласа Рассмотрим X_i — независимы и распределены по Бернулли(p = 0.5). Пусть S_100 = ∑ X_i. По локальной теореме Муавра–Лапласа найдите приближенное значение P(S_100 = 50) и сравните с точным значением биномиального распределения. Ответ:
  • Локальная теорема: P(S_n = k) примерно равно (1 / sqrt(2π n p q)) · exp(-(k − n p)^2 / (2 n p q)).
  • Для n = 100, p = q = 0.5: npq = 25, k = 50.
  • Приближенно: P(S_100 = 50) ≈ 1 / sqrt(2π·100·0.25) = 1 / sqrt(50π) ≈ 1 / 12.533 ≈ 0.0798.
  • Точное значение: P(S_100 = 50) = C(100,50) / 2^100 ≈ 0.079589.
  • Сравнение: локальная формула даёт примерно 0.0798, точное значение ≈ 0.07959; разница очень мала.
  • Ответ: приближенное значение по локальной теореме ≈ 0.0798; точное значение ≈ 0.07959.

Если нужно, могу оформить тест в виде формуляра или подготовить вариант для распечатки с пустыми полями под решения учеников.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
9 Класс

Вот тест по теме "Отечественная война 1812 года" для 9 класса с множественным выбором. Всего 30 вопросов. Ответы указаны после каждого вопроса.

Тест по истории: Отечественная война 1812 года

Вопросы:

  1. Какое событие стало поводом для начала Отечественной войны 1812 года?

    • А) Наполеоновские войны
    • Б) Мысль о реформе крестьянского права
    • В) Условия Тильзитского мира
    • Г) Вторжение французских войск в Россию
      Ответ: Г

  2. Кто был императором России в 1812 году?

    • А) Александр I
    • Б) Николай I
    • В) Павел I
    • Г) Екатерина II
      Ответ: А

  3. На какой день была объявлена война с Наполеоном?

    • А) 12 июня
    • Б) 1 мая
    • В) 23 августа
    • Г) 4 июля
      Ответ: А

  4. Какой форт был взят французами в начале войны?

    • А) Барановичи
    • Б) Смоленск
    • В) Бородино
    • Г) Воронеж
      Ответ: Б

  5. Кому из русских полководцев принадлежала фраза "Сражаться до последнего солдата"?

    • А) Кутузов
    • Б) Барклай де Толли
    • В) Тучков
    • Г) Беник
      Ответ: Б

  6. Какое сражение стало одним из ключевых в войне 1812 года?

    • А) Сражение при Лейпциге
    • Б) Сражение при Бородино
    • В) Сражение при Фридланде
    • Г) Сражение при Аустерлице
      Ответ: Б

  7. Какое из перечисленных сражений произошло до Бородинского?

    • А) Сражение под Смоленском
    • Б) Сражение под Красным
    • В) Сражение под Кунерсдорфом
    • Г) Сражение под Битвой за Москву
      Ответ: А

  8. Кто стал главнокомандующим русской армией после начальных поражений?

    • А) Барклай де Толли
    • Б) Кутузов
    • В) Суворов
    • Г) Давыдов
      Ответ: Б

  9. Какую тактику использовали русские военные силы для борьбы с французами?

    • А) Вербовка новых солдат
    • Б) Открытое сражение
    • В) Тактика "выжженной земли"
    • Г) Дипломатические меры
      Ответ: В

  10. Какова была основная причина отступления русской армии к Москве?

    • А) Нехватка продовольствия
    • Б) Увеличение армии Наполеона
    • В) Превосходство французской тактики
    • Г) Психологическая усталость
      Ответ: А

  11. Какой город стал символом русского сопротивления во время войны?

    • А) Санкт-Петербург
    • Б) Москва
    • В) Смоленск
    • Г) Тверь
      Ответ: Б

  12. Какое событие произошло 26 августа 1812 года?

    • А) Бородинское сражение
    • Б) Сражение при Смоленске
    • В) Пожар Москвы
    • Г) Поражение под Кицем
      Ответ: А

  13. Какая битва считается победной для русских войск в 1812 году?

    • А) Бородинская
    • Б) Смычка
    • В) Лейпцигская
    • Г) Аустерлицкая
      Ответ: А

  14. Кто из русских писателей описал события Отечественной войны 1812 года в своем творчестве?

    • А) Лев Толстой
    • Б) Алексей Толстой
    • В) Фёдор Достоевский
    • Г) Антон Чехов
      Ответ: А

  15. Какое сражение стало решающим для окончания войны 1812 года?

    • А) Бородинское
    • Б) Лейпцигское
    • В) Дворичный меч
    • Г) Тульское
      Ответ: Б

  16. Что произошло в Москве осенью 1812 года?

    • А) Ремонт дорог
    • Б) Пожар города
    • В) Постройка новых зданий
    • Г) Образование новой армии
      Ответ: Б

  17. Что стало одной из причин поражения Наполеона в России?

    • А) Неправильная стратегия
    • Б) Охлаждение отношений с союзниками
    • В) Отсутствие местных жителей
    • Г) Обострение внутренней политики
      Ответ: А

  18. Какое сражение произошло в пределах Москвы?

    • А) Бородинское
    • Б) Сражение на Березине
    • В) Сражение при Костроме
    • Г) Сражение за Смоленск
      Ответ: А

  19. Какой союз был создан против Наполеона после войны?

    • А) Священный союз
    • Б) Тройственный союз
    • В) Антанта
    • Г) НАТО
      Ответ: А

  20. Какой полководец командовал русской армией в составлении плана битвы с Наполеоном?

    • А) Барклай де Толли
    • Б) Кутузов
    • В) Суворов
    • Г) Кудашев
      Ответ: Б

  21. Какую роль играла партизанская война в Отечественной войне 1812 года?

    • А) Увеличила армию
    • Б) Узнавала о планах врага
    • В) Поддерживала мораль
    • Г) Создала союз с Наполеоном
      Ответ: Б

  22. Какой план Наполеона не удался?

    • А) Уничтожение русской армии
    • Б) Установление контроля над Восточной Европой
    • В) Поражение британца
    • Г) Объединение Европы
      Ответ: В

  23. Какую тактику использовал генерал Кутузов в битве при Бородино?

    • А) Нападение в лоб
    • Б) Защита с флангов
    • В) Партизанская тактика
    • Г) Уменьшение армии
      Ответ: Б

  24. Как Наполеон отреагировал на пожар Москвы?

    • А) Указал на необходимость перемирия
    • Б) Направил новые войска
    • В) Отправил дипломатов
    • Г) Убрал основные войска
      Ответ: А

  25. Какие страны были союзниками России в борьбе с Наполеоном?

    • А) Англия и Австрия
    • Б) Франция и Испания
    • В) Пруссия и Швеция
    • Г) Египет и Турция
      Ответ: А

  26. Каково значение "Бородинского поля" в истории России?

    • А) Место поражения армии
    • Б) Символ героизма русского народа
    • В) Заключение мира
    • Г) Местоположение новой столицы
      Ответ: Б

  27. Сколько дней длилась Бородинская битва?

    • А) Один день
    • Б) Три дня
    • В) Четыре дня
    • Г) Два дня
      Ответ: Б

  28. Какой результат принесли Бородинские сражения?

    • А) Окончательное поражение России
    • Б) Стратегическое замедление
    • В) Полное отбытие Наполеона
    • Г) Перемирие с Наполеоном
      Ответ: Б

  29. Какой из русских командиров проявил выдающиеся навыки в партизанской войне?

    • А) Кутузов
    • Б) Давыдов
    • В) Барклай де Толли
    • Г) Разумовский
      Ответ: Б

  30. Какой документ подвел итоги войны?

    • А) Тильзитский мир
    • Б) Парижский мир
    • В) Венский конгресс
    • Г) Пражский мир
      Ответ: В

Итоги

Тест охватывает ключевые моменты Отечественной войны 1812 года и предоставит школьникам возможность ознакомиться с основной информацией по теме и проверить свои знания.

{Другой предмет}
9 Класс

Тест по английскому языку на тему Past Simple для 9 класса

Инструкция: Заполните пропуски в предложениях, используя правильную форму глагола в Past Simple.

  1. Yesterday, I (go) _______ to the cinema with my friends.

  2. She (not/see) _______ the new movie last week.

  3. They (finish) _______ their homework before dinner.

  4. Last summer, we (travel) _______ to France for our vacation.

  5. He (play) _______ football every Saturday when he was a child.

  6. I (not/eat) _______ breakfast this morning because I was in a hurry.

Удачи!

{Другой предмет}
11 Класс

Тест по социальной науке для учащихся 11 класса

Тема: Почему мой день был результативен

Открытые вопросы:

  1. Какие конкретные цели вы поставили перед собой в начале дня и как вы их достигли?

  2. Какие действия вы предприняли, чтобы оптимизировать свое рабочее время или учебный процесс?

  3. Как ваши внутренние убеждения или установки повлияли на вашу продуктивность сегодня?

  4. Какие стратегии самомотивации вы использовали, чтобы остаться фокусированным в течение дня?

  5. Какие уроки или выводы вы извлекли из своего результативного дня и как планируете применить их в будущем?

Пожалуйста, запишите свои ответы на лист бумаги или в текстовом документе. Удачи!

Новая Школа

О Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта