Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52
Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Векторы

14 сентября 2025 18:01

{Другой предмет}
9 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по геометрии на тему «Векторы» для 9 класса. Тип вопросов: открытые. Количество вопросов: 15. В конце — образец решений (ответы).

Часть 1. Сам тест (15 вопросов)

  1. Что такое вектор? Как он записывается в координатной форме и чем отличается от скаляра? (Ответите своими словами.)

  2. Найдите модуль вектора a = (3, -4). (2D)

  3. Найдите единичный вектор в направлении a = (6, 8). (2D)

  4. Данa пара векторов: a = (2, -3) и b = (-1, 4). Найдите сумму a + b. (2D)

  5. Для тех же векторов найдите разность a - b. (2D)

  6. Найдите скалярное произведение a · b для a = (1, 2) и b = (-3, 4). (2D)

  7. Найдите угол между векторами a = (1, 2) и b = (-3, 4). (2D)

  8. Площадь параллелограмма, образованного векторами a = (3, 1) и b = (-2, 4). (2D)

  9. Найдите проекцию вектора a = (2, 3) на вектор b = (4, 0). Укажите как проекцию по длине, так и векторную проекцию.

  10. Найдите сумму векторов a = (1, 0, -2) и b = (0, 3, 4). (3D)

  11. Возьмём ненулевые векторы a = (3, 4) и b = (-4, 3). Докажите, что они перпендикулярны, найдите их модули и площадь параллелограмма, образованного ими. (2D)

  12. Найдите угол между векторами a = (2, 0, 1) и b = (0, 3, -1). (3D)

  13. Найдите проекцию вектора a = (1, 2, 3) на вектор b = (4, 0, -1) и длину этой проекции. (3D)

  14. Найдите векторное произведение a = (1, 0, 0) и b = (0, 1, 0). (3D)

  15. Векторa a = (1, 2, 3) и b = (2, 4, 6) линейно зависимы или независимы? Обоснуйте.

Часть 2. Ответы (образец решений)

  1. Вектор — это направленная величина, имеет величину (модуль) и направление. В координатной форме в n-мерном пространстве записывается как набор координат: в 2D — (x, y), в 3D — (x, y, z). Вектор отличает от скалярной величины направление и сложение по правилу параллелограмма.

  2. |a| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.

  3. |a| = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10. Единичный вектор: a/|a| = (6/10, 8/10) = (0.6, 0.8) = (3/5, 4/5).

  4. a + b = (2 + (-1), -3 + 4) = (1, 1).

  5. a - b = (2 - (-1), -3 - 4) = (3, -7).

  6. a · b = 1*(-3) + 2*4 = -3 + 8 = 5.

  7. |a| = sqrt(5), |b| = sqrt((-3)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5. cos θ = (a·b) / (|a||b|) = 5 / (sqrt(5) * 5) = 1 / sqrt(5). θ ≈ arccos(0.4472) ≈ 63.4°.

  8. Площадь параллелограмма = |det| = |a_x b_y - a_y b_x| = |34 - 1(-2)| = |12 + 2| = 14.

  9. a · b = 24 + 30 = 8. |b| = sqrt(4^2 + 0^2) = 4. Скаля́рная проекция длины = (a · b) / |b| = 8 / 4 = 2. Векторная проекция = [(a · b) / (b · b)] b = (8 / 16) (4, 0) = (0.5*4, 0) = (2, 0). Проекция: (2, 0); длина: 2.

  10. a + b = (1+0, 0+3, -2+4) = (1, 3, 2).

  11. a · b = 3*(-4) + 43 = -12 + 12 = 0, значит перпендикулярны. |a| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5; |b| = sqrt((-4)^2 + 3^2) = 5. Площадь параллелограмма = |a| |b| sin 90° = 55 = 25. Также det = 33 - 4(-4) = 9 + 16 = 25.

  12. a · b = 20 + 03 + 1*(-1) = -1. |a| = sqrt(2^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(5). |b| = sqrt(0^2 + 3^2 + (-1)^2) = sqrt(10). cos θ = (-1) / (sqrt(5) * sqrt(10)) = -1 / sqrt(50). θ ≈ arccos(-0.1414) ≈ 98.1°.

  13. a · b = 14 + 20 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1. |b| = sqrt(4^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(17). Скаля́рная проекция длины = (a · b) / |b| = 1 / sqrt(17) ≈ 0.2425. Векторная проекция = [(a · b) / (b · b)] b = (1 / 17) (4, 0, -1) = (4/17, 0, -1/17) ≈ (0.2353, 0, -0.0588).

  14. a × b = (0, 0, 1). Его модуль равен 1. Это вектор, перпендикулярный обоим исходным, направление по правилу правой руки.

  15. Векторы a = (1, 2, 3) и b = (2, 4, 6) зависимы, потому что b = 2a. Любой второй вектор равен некоторому скаляру первого; следовательно, линейная зависимость.

Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный учебник или сделать версию только 2D/только 3D. Также могу оформить тест в виде файла (например, PDF) или дать вариант с пустыми полями для ответов.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
7 Класс

Тест по геометрии: кружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная. Теория Класс: 7 Тип вопросов: Множественный выбор Количество вопросов: 7 Вывод теста: Без ответов

  1. У окружности радиуса 5 см центр O. Прямая L проходит на расстоянии 2 см от O. Какое взаимное расположение прямой и окружности? A) секущая B) касательная C) не пересекает D) лежит внутри

  2. У окружности радиуса 5 см центр O. Прямая L касается окружности в одной точке. Что за взаимное расположение? A) секущая B) касательная C) не пересекает D) проходит через центр

  3. У окружности радиуса 6 см расстояние от центра O до прямой L равно 6 см. Что за взаимное расположение? A) секущая B) касательная C) не пересекает D) пересекает в двух точках

  4. Что такое радиус окружности? A) прямая от одной точки окружности к другой B) от центра к точке на окружности C) от центра к любой точке внутри окружности D) от точки вне окружности к точке на окружности

  5. Что такое диаметр окружности? A) от центра к точке окружности B) от одной точки окружности к другой через центр C) от центра к любой точке окружности D) дуга окружности

  6. Прямая пересекает окружность в двух точках P и Q. Как называется отрезок PQ? A) хорда B) радиус C) диаметр D) касательная

  7. Свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. A) да B) нет C) только если центр совпадает с точкой касания D) зависит от радиуса

{Другой предмет}
8 Класс

Вот тест по теме "Настоящие времена" для восьмиклассников с единственным выбором:

Тест по английскому языку: Настоящие времена

Вопросы:

  1. She _____ to school every day. a) go
    b) goes
    c) going

  2. They _____ football right now. a) play
    b) plays
    c) playing

  3. I _____ my homework in the evening. a) do
    b) does
    c) doing

  4. He often _____ breakfast at 7 am. a) eat
    b) eats
    c) eating

  5. We _____ to the gym on weekends. a) go
    b) goes
    c) going

  6. The sun _____ in the east. a) rise
    b) rises
    c) rising

  7. She _____ her guitar at the moment. a) plays
    b) play
    c) played

  8. My brother _____ video games every Saturday. a) play
    b) plays
    c) playing

  9. Right now, I _____ a book. a) read
    b) reads
    c) reading

  10. They usually _____ to the movies on Fridays. a) go
    b) goes
    c) going

  11. The cat _____ in the garden now. a) sleep
    b) sleeps
    c) sleeping

  12. She _____ to her grandma every week. a) visit
    b) visits
    c) visiting

  13. We _____ a big project this month. a) work
    b) works
    c) working

  14. He _____ his phone at the moment. a) use
    b) uses
    c) using

  15. I always _____ coffee in the morning. a) drink
    b) drinks
    c) drinking

Ответы:

  1. b) goes
  2. a) play
  3. a) do
  4. b) eats
  5. a) go
  6. b) rises
  7. a) plays
  8. b) plays
  9. a) read
  10. a) go
  11. b) sleeps
  12. b) visits
  13. a) work
  14. b) uses
  15. a) drink

Пожалуйста, проверьте тест и дайте знать, если понадобится что-то изменить или добавить!

{Другой предмет}
11 Класс

Тест по истории России

Тема: Страны Тропической и Южной Африки

Класс: 11

Вопросы

  1. Какое из следующих государств является самым крупным в Африке по площади? a) Кения
    b) Демократическая Республика Конго
    c) Южноафриканская Республика
    d) Судан

  2. Как называется государство, которое было колонией Великобритании и получило независимость в 1980 году? a) Намибия
    b) Зимбабве
    c) Танзания
    d) Замбия

  3. Какой из следующих президентов Южноафриканской Республики известен своей борьбой против апартеида? a) Фредерик де Клерк
    b) Нельсон Мандела
    c) Эйбрахам Линкольн
    d) Алан Гаскоин

  4. Какое из следующих государств расположено на восточном побережье Африки? a) Нигерия
    b) Уганда
    c) Мали
    d) Чад

  5. Как называется крупнейший по численности населения город в Египте? a) Александрия
    b) Каир
    c) Луксор
    d) Гиза

  6. Какой ресурс в основном добывается в Нигерии и является основным источником дохода страны? a) Золото
    b) Нефть
    c) Алмазы
    d) Уран

  7. Какое государство является самой южной нацией Африки? a) Южноафриканская Республика
    b) Намибия
    c) Свазиленд
    d) Ботсвана

  8. Какой континентальный блок объединяет страны Тропической Африки? a) Африканский Союз
    b) ЕС
    c) Содружество Независимых Государств
    d) Асоциированное государство Океании

  9. Какое из следующих государств имело наибольшее влияние на развитие языка и культуры в южной части Африки? a) Португалия
    b) Германия
    c) Великобритания
    d) Франция

  10. Какой из следующих животных является символом Африки и обитает в саваннах? a) Полярный медведь
    b) Тигр
    c) Слон
    d) Лось

  11. Какое государство образовалось на территории современной Лесото? a) Мали
    b) Конго
    c) Республика Лесото
    d) Эсватини

  12. Какой фольклорный стиль более всего характерен для народов Южной Африки? a) Рок
    b) Блюз
    c) Ска
    d) Мбуба

  13. Какой из народов Африки наиболее известен своим искусством татуировки? a) Химба
    b) Хауса
    c) Зулу
    d) Акан

  14. Какое событие считается началом периода деколонизации в Африке? a) Вторая мировая война
    b) Открытие Суэцкого канала
    c) Образование ООН
    d) Конференция в Берлине

  15. Какой ресурс является источником конфликтов в странах Центральной и Западной Африки? a) Шершавая древесина
    b) Золото
    c) Нефть
    d) Алмазы

  16. Какой из следующих стран является островным государством в Тропической Африке? a) Танзания
    b) Мадагаскар
    c) Ангола
    d) Уганда

  17. Какой политический режим установлен в Эфиопии? a) Монархия
    b) Республика
    c) Олигархия
    d) Теократия

  18. Какое из ниже перечисленных государств не имеет выхода к морю? a) Чад
    b) Габон
    c) Мозамбик
    d) Тунис

  19. Какой из следующих языков является официальным в нескольких странах Южной Африки? a) Французский
    b) Испанский
    c) Английский
    d) Итальянский

  20. Какой африканский народ знаменит своими танцами и музыкой, особенно в Югоафриканской Республике? a) Племя масаи
    b) Племя зулусов
    c) Племя иба
    d) Племя сунду

  21. Какое государство является одним из ведущих производителей кофе в мире? a) Уганда
    b) Замбия
    c) Алжир
    d) Нигерия

  22. В каком государстве находится известный национальный парк Серенгети? a) Кения
    b) Танзания
    c) Уганда
    d) Намибия

  23. Какой из следующих факторов не способствовал экономическому развитию стран Африки? a) Колониальное наследие
    b) Коррупция
    c) Экологические проблемы
    d) Высокий уровень грамотности

  24. Какому из следующих президента Нигерии принадлежит идея создания экономики, основанной на сельском хозяйстве? a) Обасанжо
    b) Бухари
    c) Туннубу
    d) Зонгола

  25. Какое государство было частью древнего царства Мали? a) Сенегал
    b) Кот-д'Ивуар
    c) Гана
    d) Нигер

Конец теста

Проверьте ваши знания и хорошо подготовьтесь к экзамену!

Новая Школа

О Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта