Новая школа

Ниже представлен тест по геометрии на тему «Векторы» для 9 класса. Тип вопросов: открытые. Количество вопросов: 15. В конце — образец решений (ответы).

Часть 1. Сам тест (15 вопросов)

Что такое вектор? Как он записывается в координатной форме и чем отличается от скаляра? (Ответите своими словами.)
Найдите модуль вектора a = (3, -4). (2D)
Найдите единичный вектор в направлении a = (6, 8). (2D)
Данa пара векторов: a = (2, -3) и b = (-1, 4). Найдите сумму a + b. (2D)
Для тех же векторов найдите разность a - b. (2D)
Найдите скалярное произведение a · b для a = (1, 2) и b = (-3, 4). (2D)
Найдите угол между векторами a = (1, 2) и b = (-3, 4). (2D)
Площадь параллелограмма, образованного векторами a = (3, 1) и b = (-2, 4). (2D)
Найдите проекцию вектора a = (2, 3) на вектор b = (4, 0). Укажите как проекцию по длине, так и векторную проекцию.
Найдите сумму векторов a = (1, 0, -2) и b = (0, 3, 4). (3D)
Возьмём ненулевые векторы a = (3, 4) и b = (-4, 3). Докажите, что они перпендикулярны, найдите их модули и площадь параллелограмма, образованного ими. (2D)
Найдите угол между векторами a = (2, 0, 1) и b = (0, 3, -1). (3D)
Найдите проекцию вектора a = (1, 2, 3) на вектор b = (4, 0, -1) и длину этой проекции. (3D)
Найдите векторное произведение a = (1, 0, 0) и b = (0, 1, 0). (3D)
Векторa a = (1, 2, 3) и b = (2, 4, 6) линейно зависимы или независимы? Обоснуйте.

Часть 2. Ответы (образец решений)

Вектор — это направленная величина, имеет величину (модуль) и направление. В координатной форме в n-мерном пространстве записывается как набор координат: в 2D — (x, y), в 3D — (x, y, z). Вектор отличает от скалярной величины направление и сложение по правилу параллелограмма.
|a| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5.
|a| = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10. Единичный вектор: a/|a| = (6/10, 8/10) = (0.6, 0.8) = (3/5, 4/5).
a + b = (2 + (-1), -3 + 4) = (1, 1).
a - b = (2 - (-1), -3 - 4) = (3, -7).
a · b = 1*(-3) + 2*4 = -3 + 8 = 5.
|a| = sqrt(5), |b| = sqrt((-3)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5. cos θ = (a·b) / (|a||b|) = 5 / (sqrt(5) * 5) = 1 / sqrt(5). θ ≈ arccos(0.4472) ≈ 63.4°.
Площадь параллелограмма = |det| = |a_x b_y - a_y b_x| = |34 - 1(-2)| = |12 + 2| = 14.
a · b = 24 + 30 = 8. |b| = sqrt(4^2 + 0^2) = 4. Скаля́рная проекция длины = (a · b) / |b| = 8 / 4 = 2. Векторная проекция = [(a · b) / (b · b)] b = (8 / 16) (4, 0) = (0.5*4, 0) = (2, 0). Проекция: (2, 0); длина: 2.
a + b = (1+0, 0+3, -2+4) = (1, 3, 2).
a · b = 3*(-4) + 43 = -12 + 12 = 0, значит перпендикулярны. |a| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5; |b| = sqrt((-4)^2 + 3^2) = 5. Площадь параллелограмма = |a| |b| sin 90° = 55 = 25. Также det = 33 - 4(-4) = 9 + 16 = 25.
a · b = 20 + 03 + 1*(-1) = -1. |a| = sqrt(2^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(5). |b| = sqrt(0^2 + 3^2 + (-1)^2) = sqrt(10). cos θ = (-1) / (sqrt(5) * sqrt(10)) = -1 / sqrt(50). θ ≈ arccos(-0.1414) ≈ 98.1°.
a · b = 14 + 20 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1. |b| = sqrt(4^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(17). Скаля́рная проекция длины = (a · b) / |b| = 1 / sqrt(17) ≈ 0.2425. Векторная проекция = [(a · b) / (b · b)] b = (1 / 17) (4, 0, -1) = (4/17, 0, -1/17) ≈ (0.2353, 0, -0.0588).
a × b = (0, 0, 1). Его модуль равен 1. Это вектор, перпендикулярный обоим исходным, направление по правилу правой руки.
Векторы a = (1, 2, 3) и b = (2, 4, 6) зависимы, потому что b = 2a. Любой второй вектор равен некоторому скаляру первого; следовательно, линейная зависимость.

Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный учебник или сделать версию только 2D/только 3D. Также могу оформить тест в виде файла (например, PDF) или дать вариант с пустыми полями для ответов.

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Векторы

Популярные тесты

Тест по обществознанию: Конституционные права и свободы

Вопросы:

Итог: