Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52

Посмотреть все тесты нейросети

Конструктор домашек ЕГЭ

Генератор тестов

Тренажёр ЕГЭ

Тест на тему Логарифмы

14 сентября 2025 19:48

{Другой предмет}

11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по алгебре на тему логарифмы для 11 класса. Тип вопросов: открытый. Всего 10 вопросов. В конце — подробные ответы и решения.

Тест

Решите уравнение: log10(3x − 5) = 2. Укажите область допустимых значений.
Решите уравнение: ln(x^2 − 4x) = 2. Укажите все корни и область допустимых значений.
Решите уравнение: log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3. Укажите все корни и ограничения.
Выразите log3(12) через натуральный лог ln и найдите приближенное значение.
Докажите тождество: log_a(b^k) = k · log_a(b) при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Решите неравенство: log2(x − 1) > 3. Укажите множество решений.
Упростите выражение: log5(25x^3) − log5(x^2). Укажите область допустимых значений.
Найдите корень(и) уравнения: log2(x) + log2(x − 1) = 1. Укажите все решения и ограничения.
Решите уравнение: log2(x^2 − 3x + 2) = 1. Найдите все допустимые x.
Вычислите разность логарифмов: log7(343) − log7(7).

Ответы

log10(3x − 5) = 2 → 3x − 5 = 10^2 = 100 → 3x = 105 → x = 35. Допустимо, так как 3x − 5 > 0 при x > 5/3. Ответ: x = 35.
ln(x^2 − 4x) = 2 → x^2 − 4x = e^2 → x^2 − 4x − e^2 = 0 → x = [4 ± sqrt(16 + 4e^2)]/2 = 2 ± sqrt(4 + e^2). Ограничение: x^2 − 4x > 0 → x < 0 или x > 4. Приближенно: e^2 ≈ 7.389, sqrt(4 + e^2) ≈ sqrt(11.389) ≈ 3.374. Корни: x1 ≈ 2 − 3.374 ≈ −1.374 (допустимо), x2 ≈ 2 + 3.374 ≈ 5.374 (допустимо). Ответ: x = 2 ± sqrt(e^2 + 4); оба корня допустимы.
log2((x − 1)(x + 1)) = 3 → (x − 1)(x + 1) = 2^3 = 8 → x^2 − 1 = 8 → x^2 = 9 → x = ±3. Ограничение: x − 1 > 0 и x + 1 > 0 → x > 1. Только x = 3 допустим. Ответ: x = 3.
log3(12) через ln: log3(12) = ln(12) / ln(3). Приближено: ln(12) ≈ 2.48490665, ln(3) ≈ 1.09861229. log3(12) ≈ 2.48490665 / 1.09861229 ≈ 2.262. Ответ: log3(12) = ln(12)/ln(3) ≈ 2.262.
Доказательство: Пусть y = log_a(b). Тогда a^y = b. Тогда log_a(b^k) = log_a((a^y)^k) = log_a(a^{yk}) = yk = k · log_a(b). Условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Ответ: log_a(b^k) = k · log_a(b).
log2(x − 1) > 3 → x − 1 > 2^3 = 8 → x > 9. Ограничение: x − 1 > 0, т.е. x > 1; итоговое решение: x > 9.
log5(25x^3) − log5(x^2) = log5((25x^3)/(x^2)) = log5(25x) = log5(5^2 x) = 2 + log5(x). Ограничение: x > 0. Ответ: 2 + log5(x) (при x > 0).
log2(x) + log2(x − 1) = 1 → log2[x(x − 1)] = 1 → x(x − 1) = 2 → x^2 − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 или x = −1. Ограничение: x > 1 (так как x − 1 > 0). Только x = 2 допустимо. Ответ: x = 2.
log2(x^2 − 3x + 2) = 1 → x^2 − 3x + 2 > 0 (проверка области) и x^2 − 3x + 2 = 2. Решаем: x^2 − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0 или x = 3. Проверка области: x^2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) > 0, это выполняется, когда x < 1 или x > 2. Оба найденных решения удовлетворяют условиям: x = 0 (потому что (0−1)(0−2) = 2 > 0) и x = 3 (потому что (3−1)(3−2) = 2 > 0). Ответ: x = 0 и x = 3.
log7(343) − log7(7) = log7(7^3) − log7(7^1) = 3 − 1 = 2. Ответ: 2.

Сгенерировать свой тест

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Логарифмы

Популярные тесты

Тест по обществознанию на тему "Общение как основа социального взаимодействия"

Вопрос 1:

Вопрос 2:

Вопрос 3:

Вопрос 4:

Вопрос 5: