Бесплатный сервис «Учительская»
Соберите тест из готовой базы заданий ЕГЭ. Ученики решат этот тест и вы увидите их ответы прямо на платформе
Собрать тест ЕГЭТест на тему Логарифмы
14 сентября 2025 19:48
Ниже представлен тест по алгебре на тему логарифмы для 11 класса. Тип вопросов: открытый. Всего 10 вопросов. В конце — подробные ответы и решения.
Тест
- Решите уравнение: log10(3x − 5) = 2. Укажите область допустимых значений.
- Решите уравнение: ln(x^2 − 4x) = 2. Укажите все корни и область допустимых значений.
- Решите уравнение: log2(x − 1) + log2(x + 1) = 3. Укажите все корни и ограничения.
- Выразите log3(12) через натуральный лог ln и найдите приближенное значение.
- Докажите тождество: log_a(b^k) = k · log_a(b) при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- Решите неравенство: log2(x − 1) > 3. Укажите множество решений.
- Упростите выражение: log5(25x^3) − log5(x^2). Укажите область допустимых значений.
- Найдите корень(и) уравнения: log2(x) + log2(x − 1) = 1. Укажите все решения и ограничения.
- Решите уравнение: log2(x^2 − 3x + 2) = 1. Найдите все допустимые x.
- Вычислите разность логарифмов: log7(343) − log7(7).
Ответы
log10(3x − 5) = 2 → 3x − 5 = 10^2 = 100 → 3x = 105 → x = 35. Допустимо, так как 3x − 5 > 0 при x > 5/3. Ответ: x = 35.
ln(x^2 − 4x) = 2 → x^2 − 4x = e^2 → x^2 − 4x − e^2 = 0 → x = [4 ± sqrt(16 + 4e^2)]/2 = 2 ± sqrt(4 + e^2). Ограничение: x^2 − 4x > 0 → x < 0 или x > 4. Приближенно: e^2 ≈ 7.389, sqrt(4 + e^2) ≈ sqrt(11.389) ≈ 3.374. Корни: x1 ≈ 2 − 3.374 ≈ −1.374 (допустимо), x2 ≈ 2 + 3.374 ≈ 5.374 (допустимо). Ответ: x = 2 ± sqrt(e^2 + 4); оба корня допустимы.
log2((x − 1)(x + 1)) = 3 → (x − 1)(x + 1) = 2^3 = 8 → x^2 − 1 = 8 → x^2 = 9 → x = ±3. Ограничение: x − 1 > 0 и x + 1 > 0 → x > 1. Только x = 3 допустим. Ответ: x = 3.
log3(12) через ln: log3(12) = ln(12) / ln(3). Приближено: ln(12) ≈ 2.48490665, ln(3) ≈ 1.09861229. log3(12) ≈ 2.48490665 / 1.09861229 ≈ 2.262. Ответ: log3(12) = ln(12)/ln(3) ≈ 2.262.
Доказательство: Пусть y = log_a(b). Тогда a^y = b. Тогда log_a(b^k) = log_a((a^y)^k) = log_a(a^{yk}) = yk = k · log_a(b). Условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Ответ: log_a(b^k) = k · log_a(b).
log2(x − 1) > 3 → x − 1 > 2^3 = 8 → x > 9. Ограничение: x − 1 > 0, т.е. x > 1; итоговое решение: x > 9.
log5(25x^3) − log5(x^2) = log5((25x^3)/(x^2)) = log5(25x) = log5(5^2 x) = 2 + log5(x). Ограничение: x > 0. Ответ: 2 + log5(x) (при x > 0).
log2(x) + log2(x − 1) = 1 → log2[x(x − 1)] = 1 → x(x − 1) = 2 → x^2 − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 или x = −1. Ограничение: x > 1 (так как x − 1 > 0). Только x = 2 допустимо. Ответ: x = 2.
log2(x^2 − 3x + 2) = 1 → x^2 − 3x + 2 > 0 (проверка области) и x^2 − 3x + 2 = 2. Решаем: x^2 − 3x = 0 → x(x − 3) = 0 → x = 0 или x = 3. Проверка области: x^2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) > 0, это выполняется, когда x < 1 или x > 2. Оба найденных решения удовлетворяют условиям: x = 0 (потому что (0−1)(0−2) = 2 > 0) и x = 3 (потому что (3−1)(3−2) = 2 > 0). Ответ: x = 0 и x = 3.
log7(343) − log7(7) = log7(7^3) − log7(7^1) = 3 − 1 = 2. Ответ: 2.
Популярные тесты
Ниже тест по геометрии на тему: прямоугольные треугольники. Класс 7. Тип вопросов: множественный выбор. Включены ответы.
Инструкция: выберите один правильный ответ из вариантов A, B, C, D.
Какой признак прямоугольного треугольника? A) один угол равен 90° B) все углы равны 60° C) две стороны равны D) диагональ равна стороне Ответ: A
В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. Найдите гипотенузу. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 Ответ: A
В прямоугольном треугольнике стороны 5 и 12 являются катетами. Найдите гипотенузу. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 Ответ: B
Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. A) 14 B) 24 C) 36 D) 48 Ответ: B
Найдите периметр прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. A) 6 B) 12 C) 15 D) 8 Ответ: B
В прямоугольном треугольнике углы 90°, 45°, 45°. Если один катет равен 7, найдите гипотенузу. A) 7 B) 7√2 C) 14 D) 7√3 Ответ: B
В прямоугольном треугольнике угол 30°. Если меньшая сторона равна 5, найдите гипотенузу. A) 5 B) 5√3 C) 10 D) 5√2 Ответ: C
Является ли треугольник со сторонами 8, 15, 17 прямоугольным? A) да B) нет C) зависит от углов D) только если стороны равны Ответ: A
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а один катет равен 5. Найдите другой катет. A) 12 B) 10 C) 5 D) 13 Ответ: A
Треугольник со сторонами 9, 40, 41 является прямоугольным? A) да B) нет C) невозможно определить D) только если равнобедренный Ответ: A
Ключ ответов: 1A, 2A, 3B, 4B, 5B, 6B, 7C, 8A, 9A, 10A
Вот тест по теме «Преломление света. Законы преломления света» для 9 класса. Тип вопросов — единственный правильный ответ. Каждому вопросу даны 4 варианта. В конце — ответKey.
- Как называется закон, связывающий угол падения и угол преломления через показатель преломления?
- A) Закон отражения
- B) Закон преломления света (закон Снелла)
- C) Закон гравитации
- D) Закон сохранения энергии
- Свет идёт из воздуха в воду. Что произойдет с углом преломления по отношению к нормали?
- A) Угол преломления будет больше угла падения
- B) Угол преломления будет равен углу падения
- C) Угол преломления будет меньше угла падения
- D) Свет полностью отразится
- При переходе света из более плотной среды в менее плотную и угле падения больше критического угла что произойдет?
- A) Свет перейдёт в другую среду без преломления
- B) Произойдёт полное внутреннее отражение
- C) Свет преломится с тем же углом
- D) Свет полностью преломится
- Угол падения равен 30° на границе воздух–вода. Какой приблизительно угол преломления?
- A) 15°
- B) 22°
- C) 30°
- D) 45°
- Свет идёт из воздуха в стекло (n ≈ 1,5). Что произойдет с направлением света?
- A) Угол преломления увеличится
- B) Угол преломления уменьшится
- C) Свет полностью отразится
- D) Направление не изменится
- Что означает показатель преломления среды n?
- A) Скорость света в среде по отношению к вакууму
- B) Частота света в среде
- C) Цвет света в среде
- D) Общее изменение направления света при переходе между средами
- Свет идёт из воды в воздух. Угол падения 40°. Найдите угол преломления.
- A) approx 22°
- B) 40°
- C) approx 59°
- D) 90°
- Какой эффект наблюдается при переходе из более плотной среды в менее плотную, если угол падения превышает критический?
- A) Преломление
- B) Полное внутреннее отражение
- C) Свет полностью преломляется
- D) Никаких изменений
- Где скорость света больше?
- A) В воздухе
- B) В воде
- C) В стекле
- D) Везде одинаково
- Какой оптический элемент использует преломление света для изменения направления луча?
- A) Зеркало
- B) Линза
- C) Волоконная кабельная система
- D) Лазер
Ответы: 1 — B 2 — C 3 — B 4 — B 5 — B 6 — A 7 — C 8 — B 9 — A 10 — B
Тест по информатике на тему "Системы счисления" для 10 класса
Вопросы:
Какой системы счисления использует только два символа: 0 и 1?
- A) Десятичная
- B) Двоичная
- C) Шестнадцатеричная
- D) Восьмеричная
Ответ: B)
Какое число в двоичной системе соответствует числу 10 в десятичной системе?
- A) 1010
- B) 1001
- C) 1110
- D) 1100
Ответ: A)
В какой системе счисления используется цифра F для обозначения числа 15?
- A) Двоичная
- B) Восьмеричная
- C) Десятичная
- D) Шестнадцатеричная
Ответ: D)
Сколько символов используется в восьмеричной системе счисления?
- A) 8
- B) 10
- C) 16
- D) 2
Ответ: A)
Какое из следующих чисел является числом 255 в шестнадцатеричной системе счисления?
- A) FF
- B) FE
- C) F0
- D) E0
Ответ: A)
Какое число является равнозначным числу 101 в двоичной системе в десятичной системе?
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 7
Ответ: B)
Какой из следующих переводов числа 45 из десятичной системы в двоичную систему является правильным?
- A) 111001
- B) 101101
- C) 110110
- D) 111010
Ответ: B)
Итоговые ответы:
- B
- A
- D
- A
- A
- B
- B
Тест готов! Удачи школьникам на экзаменах!
Тест по математике: Сложение целых чисел с одинаковыми и разными знаками
Класс: 6
Количество вопросов: 20
Тип вопросов: Открытые вопросы
Ответы: Да
1. Вставьте знак «+» или «–» так, чтобы выражение было верным:
–3 ___ 5 = 2
Ответ: –3 + 5 = 2
2. Найдите сумму чисел: 7 + (–4).
Ответ: 3
3. Что получится при сложении: –6 + (–9)?
Ответ: –15
4. Решите: –8 + 12 = ?
Ответ: 4
5. В двух карманах лежат деньги: в первом – –3 рубля, во втором – 5 рублей. Какое их суммарное количество денег?
Ответ: 2 рубля
6. Вычислите: –10 + 10.
Ответ: 0
7. Откройте скобки так, чтобы получилось правильное выражение: (–2) + ___ = 0
Ответ: 2
8. Измените знак в выражении: –15 + 8. Каким оно станет при изменении знака?
Ответ: 15 – 8
9. Что получится, если к числу –4 прибавить число 6?
Ответ: 2
10. Вырежьте из бумаги число 5, напишите его отрицательным и объясните, что это означает.
Ответ: –5, означает долг или отрицательное значение.
11. Решите уравнение: –x + 3 = 0.
Ответ: x = 3
12. Найдите сумму чисел: –7 + (–3).
Ответ: –10
13. Представьте на числовой оси сумму: –2 + 4.
Ответ: 2 (число расположено правее нуля на числовой оси)
14. В чем разница между сложением двух положительных чисел и двух отрицательных чисел?
Ответ: Сложение двух положительных чисел дает больший положительный результат, а сложение двух отрицательных чисел дает больший отрицательный результат.
15. Решите: 0 + (–9).
Ответ: –9
16. Вам даны числа –2 и 7. Чему равно их сумма?
Ответ: 5
17. К числу –6 прибавьте число –4. Какой получится результат?
Ответ: –10
18. В экспедицию отправились два друга: один пошел на –3 километра, другой на +4 километра. Какое всего расстояние они прошли вместе?
Ответ: Всего они прошли 7 километров (сумма абсолютных значений).
19. Объясните, почему при сложении числа с отрицательным и с положительным может получиться как положительный, так и отрицательный результат.
Ответ: Потому что сумма зависит от величин и знаков чисел: если больше по абсолютной величине положительное число, результат положительный; если отрицательное – результат отрицательный.
20. Запишите пример сложения двух чисел с разными знаками, где результат положительный.
Ответ: 5 + (–3) = 2
Если потребуется, я могу подготовить для вас разметку или дополнительные объяснения!
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111
