Тест на тему решение треугольников

Вот тест из 5 открытых вопросов по теме «Решение треугольников» для 9 класса. Каждому вопросу дано условие и приведён образец решения с ответами.

1. Условие 1 Даны стороны a = 5, b = 7 и угол C = 60°. Найти стороны c, углы A и B. Решение:

• По теореме косинусов для стороны c: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C = 25 + 49 − 2·5·7·cos60° = 74 − 70·0.5 = 39. Так, c ≈ √39 ≈ 6.245.
• Чтобы найти A, используем формулу косинусов: cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) = (49 + 39 − 25) / (2·7·6.245) ≈ 63 / 87.43 ≈ 0.721. А ≈ arccos(0.721) ≈ 44.0°.
• B = 180° − A − C ≈ 180° − 44.0° − 60° ≈ 76.0°. Ответ (приближённо): c ≈ 6.25; A ≈ 44.0°; B ≈ 76.0°.

2. Условие 2 Даны стороны a = 8, b = 6 и угол A = 40°. Найти стороны c, углы B и C. Решение:

• По закону синусов: sin B / b = sin A / a ⇒ sin B = b·sin A / a = 6·sin 40° / 8 ≈ 0.4821. B ≈ arcsin(0.4821) ≈ 28.9°.
• C = 180° − A − B ≈ 180° − 40° − 28.9° ≈ 111.1°.
• Найдём c: c / sin C = a / sin A ⇒ c = a·sin C / sin A ≈ 8·sin 111.1° / sin 40° ≈ 8·0.9330 / 0.6428 ≈ 11.6. Ответ: c ≈ 11.6; B ≈ 28.9°; C ≈ 111.1°.

3. Условие 3 Даны стороны a = 9, b = 10, c = 7. Найти углы A, B, C. Решение:

• A: cos A = (b^2 + c^2 − a^2) / (2bc) = (100 + 49 − 81) / (2·10·7) = 68 / 140 ≈ 0.486. A ≈ arccos(0.486) ≈ 61.0°.
• B: cos B = (a^2 + c^2 − b^2) / (2ac) = (81 + 49 − 100) / (2·9·7) = 30 / 126 ≈ 0.238. B ≈ arccos(0.238) ≈ 76.1°.
• C = 180° − A − B ≈ 180° − 61.0° − 76.1° ≈ 42.9°. Ответ: A ≈ 61.0°; B ≈ 76.1°; C ≈ 42.9°.

4. Условие 4 Даны стороны a = 3, b = 4 и угол C = 90°. Найти c, углы A и B. Решение:

• Так как C = 90°, по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C = 9 + 16 − 0 = 25, следовательно c = 5.
• В прямоугольном треугольнике резонно: sin A = a / c = 3/5 = 0.6 ⇒ A ≈ 36.87°.
• B = 90° − A ≈ 53.13°. Ответ: c = 5; A ≈ 36.87°; B ≈ 53.13°.

5. Условие 5 Известны два угла: A = 50°, B = 60°, и сторона a = 8. Найти стороны b, c и угол C. Решение:

• C = 180° − A − B = 70°.
• По закону синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = k. Берём k = a / sin A = 8 / sin 50° ≈ 8 / 0.7660 ≈ 10.436.
• b = k·sin B ≈ 10.436 · sin 60° ≈ 10.436 · 0.8660 ≈ 9.03.
• c = k·sin C ≈ 10.436 · sin 70° ≈ 10.436 · 0.9397 ≈ 9.80. Ответ: b ≈ 9.03; c ≈ 9.80; C = 70°.

Если нужно, могу дополнить тест дополнительными инструкциями по оформлению или привести версии заданий без вычислений (только форму дачи данных) для печати на листе.