Тест на тему Деление двоичных чисел нацело без остатка

Ниже представлен тест по математике на тему: «Применение производной для исследования функций», для 11 класса. Тип вопросов — открытые. Количество вопросов: 10. Вывод теста с ответами — да.

Часть 1. Тест (10 открытых вопросов)

1. Пусть f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1.

• Найдите производную f'(x).
• Найдите критические точки.
• Определите интервалы возрастания и убывания.
• Найдите локальные экстремумы и их значения.
• Укажите природу экстремумов с помощью второй производной.

2. Пусть g(x) = e^x − x^2.

• Найдите интервалы возрастания и убывания (используйте знак производной).
• Найдите локальные экстремумы, если они есть.
• Найдите точку перегиба (инфлексии) функции, используя вторую производную.

3. Пусть h(x) = ln x − x^2, x > 0.

• Найдите точки роста/падения (интервалы монотонности).
• Найдите локальный максимум и его значение.
• Исследуйте выпуклость (конвексность) и найдите, есть ли точки перегиба.

4. Оптимизация площади прямоугольника с фиксированным периметром P = 40.

• Пусть одна сторона равна x, другая — 20 − x (0 < x < 20). Найдите размер стороны, обеспечивающий максимальную площадь.
• Найдите максимальную площадь прямоугольника и его размеры.

5. Пусть f(x) = x^4 − 4x^3 + 5.

• Найдите все критические точки.
• Определите интервалы возрастания/убывания и локальные экстремумы.
• Укажите значения экстремумов (если нужно, вычислите f в точках экстремумов).
• При желании, найдите точки перегиба через вторую производную.

6. Пусть f(x) = √x, domain x ≥ 0.

• Найдите производную и её знак (интервалы).
• Определите выпуклость функции (интервал выпуклости) и наличие точек перегиба.

7. Пусть известно, что f'(x) = x^2 − 6x + 5.

• Определите интервалы возрастания и убывания функции f.
• Найдите локальные экстремумы и их виды.

8. Пусть f(x) = x^4 − 4x^3.

• Найдите критические точки и интервалы монотонности.
• Найдите местный минимум (и значения функции в точке минимума).
• Найдите точки перегиба, если они есть (через вторую производную).

9. Тangent-применение производной.

• Пусть f(x) = ln x и x0 = 1.
• Найдите касательную к графику в точке x0 и её уравнение.
• Используя касательную, оцените значение f(1.1) (приближённо).

10. Практическая оптимизация прибыли.

• Пусть функция прибыли P(x) задана как P(x) = −x^2 + 60x − 200.
• Найдите x, при котором достигается максимальная прибыль, и её значение.
• Укажите, что это максимум (поясните через знак второй производной или знак вокруг точки).

Часть 2. Ответы и решения

1. f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1

• f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)
• Критические точки: x = 1 и x = 3
• intervals: f' > 0 на (−∞, 1) и (3, ∞); f' < 0 на (1, 3) => функция возрастает на (−∞, 1) и (3, ∞); убывает на (1, 3)
• Локальные экстремумы: локальный максимум при x = 1; локальный минимум при x = 3
• Значения: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5; f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
• Вторая производная: f''(x) = 6x − 12 • f''(1) = −6 < 0 ⇒ локальный максимум при x = 1 • f''(3) = 6 > 0 ⇒ локальный минимум при x = 3

2. g(x) = e^x − x^2

• g'(x) = e^x − 2x
• Анализ g'(x): h(x) = e^x − 2x имеет уникальный минимум при h'(x) = e^x − 2 = 0 ⇒ x = ln 2; h(ln 2) = 2 − 2 ln 2 > 0 => g'(x) > 0 для всех x; g возрастает на всей области.
• Нет локальных экстремумов.
• Вторая производная: g''(x) = e^x − 2; инфлексия при x = ln 2, т.к. g'' меняет знак.
• Значение в точке перегиба: g(ln 2) = 2 − (ln 2)^2 ≈ 1.520

3. h(x) = ln x − x^2, x > 0

• h'(x) = 1/x − 2x; h'(x) = 0 при x^2 = 1/2 ⇒ x = 1/√2
• Монотонность: на (0, 1/√2) возрастает; на (1/√2, ∞) убывает
• Локальный максимум в x = 1/√2; значение h(1/√2) = ln(1/√2) − 1/2 = −(1/2) ln 2 − 1/2
• Вторая производная: h''(x) = −1/x^2 − 2 < 0 для всех x > 0; функция строго вогнута (конкавна) вниз; точек перегиба нет

4. Прямоугольник с периметром P = 40

• Пусть одна сторона x, другая 20 − x (0 < x < 20)
• Площадь A(x) = x(20 − x) = 20x − x^2
• A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10
• A''(x) = −2 < 0 ⇒ максимум
• Максимальная площадь: A(10) = 10 · 10 = 100
• Размеры: 10 и 10 (квадрат)

5. f(x) = x^4 − 4x^3 + 5

• f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
• Критические точки: x = 0 (повторный корень) и x = 3
• Интервалы монотонности: на (−∞, 0) убывает; на (0, 3) убывает; на (3, ∞) возрастает
• В точке x = 3 локальный минимум (потому что производная меняет знак с минуса на плюс)
• Значение минимума: f(3) = 81 − 108 + 5 = −22
• Точка x = 0 не является экстремумом (производная не меняет знак)
• Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии при x = 0 и x = 2 (проверка знаков вокруг)

6. f(x) = √x, x ≥ 0

• f'(x) = 1/(2√x) > 0 для x > 0
• f''(x) = −1/(4 x^(3/2)) < 0 для x > 0
• Следовательно: функция возрастает на (0, ∞) и выпукла вниз (конкавна) на (0, ∞); точек перегиба в области определения нет

7. f'(x) = x^2 − 6x + 5

• Корни: x = 1 и x = 5
• Монотонность: для x < 1 — f' > 0; для 1 < x < 5 — f' < 0; для x > 5 — f' > 0
• Значит: возрастает на (−∞, 1) и (5, ∞); убывает на (1, 5)
• Локальные экстремумы: максимум в x = 1; минимум в x = 5
• Значения f в этих точках зависят от заданной исходной функции f (вопрос только о местоположении экстремумов по производной)

8. f(x) = x^4 − 4x^3

• f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
• Критические точки: x = 0 и x = 3
• Монотонность: (-∞, 0) — убывает; (0, 3) — убывает; (3, ∞) — возрастает
• Локальный минимум в x = 3: f(3) = 81 − 108 = −27
• В точке x = 0 стационарная точка, но экстремума нет (нет смены знака)
• Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии: x = 0 и x = 2 (проверка знаков слева/справа) • вокруг x = 0 знаки меняются: (-∞, 0): f'' > 0; (0, 2): f'' < 0 → точка перегиба в 0 • вокруг x = 2: (0, 2): f'' < 0; (2, ∞): f'' > 0 → точка перегиба в 2

9. Т tangent-применение производной.

• Пусть f(x) = ln x, x0 = 1
• Значение в точке: f(1) = 0
• Производная в точке: f'(1) = 1/1 = 1
• Уравнение касательной: y − f(1) = f'(1)(x − 1) ⇒ y = x − 1
• Приближённая оценка f(1.1) по касательной: f(1.1) ≈ 1.1 − 1 = 0.1
• Точное значение: ln(1.1) ≈ 0.0953 (для сравнения)

10. Практическая оптимизация прибыли.

• P(x) = −x^2 + 60x − 200
• P'(x) = −2x + 60
• Корень: x = 30
• P''(x) = −2 < 0 ⇒ это максимум
• Максимальная прибыль: P(30) = −900 + 1800 − 200 = 700
• Прибыль достигается при выпуске 30 единиц (при условии допустимого диапазона)

Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный уровень или добавить дополнительные пояснения к каждому решению.

Тест по технологии для учеников 1 класса

Тема: Вышивка – способ отделки изделий. Мережка

1. Что такое вышивка? A) Техника рисования картин B) Способ отделки изделий нитками C) Погода

2. Какой материал используется для вышивки? A) Молоко B) Вода C) Нитки и игла

3. Что такое мережка? A) Ткань с дырочками B) Пластиковые игрушки C) Земля

4. Для чего используется мережка? A) Для кормления птиц B) Для вышивки и украшения изделий C) Для стрижки волос

5. Как называется инструмент для вышивки? A) Лопата B) Молоток C) Игла

6. Что можно сделать, используя навыки вышивания? A) Помыть посуду B) Вышить красивый узор на фартуке C) Построить дом

7. Как называется крупный узор, вышитый тонкими нитками? A) Макраме B) Переплетение C) Вышивка крестом

8. Какими цветами можно украшать вышивку? A) Только черными B) Любыми подходящими C) Только белыми

9. Как правильно хранить нитки для вышивки? A) Выбросить B) Складывать в узелки C) Разбросать по полу

10. Зачем нужно уметь вышивать? A) Для того, чтобы сделать подарок своим близким B) Чтобы делать вещи красивыми и уникальными C) Чтобы выжить на необитаемом острове

Ответы:

1. B) Способ отделки изделий нитками
2. C) Нитки и игла
3. A) Ткань с дырочками
4. B) Для вышивки и украшения изделий
5. C) Игла
6. B) Вышить красивый узор на фартуке
7. C) Вышивка крестом
8. B) Любыми подходящими
9. B) Складывать в узелки
10. A) Для того, чтобы сделать подарок своим близким

Желаю удачи на тесте!

Тест па беларускай мове на тэму "Дзеепрыметнік" для 7 класа

1. Што такое дзеепрыметнік? Вызначце яго асноўныя асаблівасці.

2. Якія формы дзеепрыметніка існуюць у беларускай мове? Прывядзіце прыклады.

3. Якія адносіны паміж дзеепрыметнікам і дзеяслоўам? Прывядзіце прыклады выкарыстання.

4. Напішыце сказ з дзеепрыметнікам і вызначце яго ролю ў структуры сказа.

5. Чаму дзеепрыметнікі часам ужываюцца ў розных часах? Прывядзіце прыклады.

6. Якія сінонімы да дзеепрыметнікаў вы ведаеце? Прывядзіце прыклады.

7. Калі дзеепрыметнікі ўжываюцца ў якасці прыметнікаў? Навядзіце прыклад.

8. Як утвараюцца дзеепрыметнікі ад дзеясловаў розных груп? Прывядзіце прыклады.

9. Якія памылкі ўжывання дзеепрыметнікаў вы можаце адзначыць? Навядзіце іх.

10. Распавядзіце пра выкарыстанне дзеепрыметнікаў у мастацкай літаратуры. Прывядзіце прыклады з тэксту.

Увага: На пытанні адкажыце поўнымі сказамі.

Тест по теме: Развитие интернета в России

Класс: 1

---

1. Когда в России появился первый интернет?
a) В 1991 году
b) В 2000 году
c) В 1985 году

Ответ: a) В 1991 году

---

2. Какое устройство используется для подключения к интернету?
a) Холодильник
b) Микроволновка
c) Модем

Ответ: c) Модем

---

3. Какое слово описывает то, что мы можем делать с интернетом?
a) Играть
b) Мечтать
c) Сидеть на месте

Ответ: a) Играть

---

4. Что такое "социальные сети"?
a) Места для учебы
b) Платформы для общения и обмена информацией
c) Спортивные площадки

Ответ: b) Платформы для общения и обмена информацией

---

5. Какое из этих слов связано с быстрым интернетом?
a) Лаунж
b) Оптика
c) Книга

Ответ: b) Оптика

---

6. Что можно делать с помощью интернета?
a) Слушать музыку
b) Гладить одежду
c) Ловить рыбу

Ответ: a) Слушать музыку

---

Конец теста

Пожалуйста, проверьте свои ответы и обсудите их с учителем!