Тест на тему трапеция

Ниже представлен тест по геометрии для 8 класса на тему трапеции. Тип вопросов — открытый вопрос. В конце каждого вопроса — ответ с кратким решением.

1. В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны, высота трапеции h = 4 см. Длины оснований AB = 8 см и CD = 5 см. Найдите площадь трапеции.

• Ответ: S = (AB + CD) / 2 × h = (8 + 5) / 2 × 4 = 13/2 × 4 = 26 см².
• Краткое решение: площадь трапеции равна среднему значению оснований, умноженному на высоту.

2. В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что AO:OC = 3:7 и AB = 6 см. Найдите длину основания CD.

• Ответ: CD = 14 см.
• Краткое решение: в трапеции отношение AO/OC равно отношение оснований AB/CD. Следовательно, AB/CD = 3/7, so CD = AB × 7/3 = 6 × 7/3 = 14 см.

3. В равнобочной трапеции AB ∥ CD, боковые стороны AD = BC = 5 см, высота h = 4 см. Известно, что AB = 10 см. Найдите длину основания CD.

• Ответ: CD = 4 см.
• Краткое решение: в равнобочной трапеции разность основания равна удвоенной горизонтальной проекции боковой стороны: AB − CD = 2√(AD² − h²). Здесь √(5² − 4²) = √(25 − 16) = √9 = 3, следовательно AB − CD = 2·3 = 6, и CD = 10 − 6 = 4 см.

4. В трапеции основания AB и CD параллельны: AB = 8 см, CD = 5 см. Площадь трапеции S = 52 см². Найдите высоту h трапеции.

• Ответ: h = 8 см.
• Краткое решение: S = ((AB + CD) / 2) × h, значит h = 2S / (AB + CD) = 2×52 / (8 + 5) = 104 / 13 = 8 см.

5. В равнобочной трапеции AB ∥ CD, AB = 12 см, CD = 6 см, AD = BC = 8 см. Найдите длину диагонали BD.

• Ответ: BD = 2√34 см ≈ 11.66 см.
• Краткое решение: горизонтальная разность оснований на две стороны равна (AB − CD)/2 = (12 − 6)/2 = 3. Высота h равна √(AD² − 3²) = √(8² − 9) = √55. Координатно можно разместить трапецию так, чтобы BD = √((разность по горизонтали)^2 + h^2 на соответствующей паре вершин) = √(9² + 55) = √(81 + 55) = √136 = 2√34.