Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Свойства корня n-ой степени

03 октября 2025 17:40

{Другой предмет}
11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по теме: Свойства корня n-й степени. Тип вопросов: открытые. Класс: 11. Количество вопросов: 15. Тест с ответами приведён сразу после каждого вопроса.

  1. Вопрос: Что такое n-я корень из числа a? Приведите примеры для n = 2 и n = 3. Ответ:

    • n-я корень из a — это число x такое, что x^n = a.
    • Примеры: для n = 2, sqrt(9) = 3; для n = 3, корень кубический из -8: ∛(-8) = -2.

  2. Вопрос: Упростите выражение корень n-й степени из a^n, i.e. √[n]{a^n}. Укажите зависимость от чётности n и знака a. Ответ:

    • Если n чётное, √[n]{a^n} = |a|.
    • Если n нечётное, √[n]{a^n} = a. Примеры: √[4]{(-3)^4} = 3; ∛((-5)^3) = -5.

  3. Вопрос: Упростите выражение ∛(x^3 y^3). Ответ: ∛(x^3 y^3) = xy (для любых вещественных x и y).

  4. Вопрос: Пусть x ≥ 0, y ≥ 0. Докажите или приведите пример свойства √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y} (для неотрицательных x, y). Ответ:

    • При x ≥ 0 и y ≥ 0 выполняется: √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y}.
    • Пример: для n = 3, x = 8, y = 27: ∛(8·27) = ∛216 = 6, а ∛8 · ∛27 = 2 · 3 = 6.

  5. Вопрос: Пусть x ≥ 0, y > 0. Укажите аналогичное свойство для дроби: √[n]{x/y} = √[n]{x} / √[n]{y}. Приведите пример. Ответ:

    • При x ≥ 0 и y > 0 выполняется: √[n]{x/y} = √[n]{x} / √[n]{y}.
    • Пример: n = 3, x = 8, y = 27: ∛(8/27) = ∛(8)/∛(27) = 2/3.

  6. Вопрос: Выразите √[n]{a^m} через a^(m/n). Укажите реальные ограничения на a для чётного n. Ответ:

    • √[n]{a^m} = a^(m/n).
    • Ограничения: если n чётное, под корнем должно быть неотрицательное число, то есть a^m ≥ 0, что обычно требует a ≥ 0 (или рассматривать модули и знаки в зависимости от m). Для нечётного n такие ограничения менее строгие, но в вещественных числах всё равно удобнее рассматривать случаи, когда под корнем определено.

  7. Вопрос: Найдите вещественные корни: ∛(-8) и √[4]{-16}. Ответ:

    • ∛(-8) = -2.
    • √[4]{-16} не существует как вещественное число (для чётного n корень из отрицательного числа в вещественных числах не существует).

  8. Вопрос: Вычислите √[4]{16}. Ответ: 2.

  9. Вопрос: Найдите значение √[5]{-32}. Ответ: -2, потому что (-2)^5 = -32.

  10. Вопрос: Упростите √[4]{8x^4} в явном виде через x. Ответ:

    • √[4]{8x^4} = √[4]{8} · √[4]{x^4} = 2^(3/4) · |x| = |x| · √[4]{8}.

  11. Вопрос: Докажите, что (√[n]{a})^n = a, если a ≥ 0. Ответ:

    • Пусть b = √[n]{a}. Тогда b^n = a. Поскольку a ≥ 0 и n ∈ Nat, выражение корректно, и получаем (√[n]{a})^n = a.

  12. Вопрос: Приведите пример, когда для x < 0, y < 0 и нечётного n равенство √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y} выполняется. Ответ:

    • Возьмём n = 3, x = -8, y = -27. Левое: ∛((-8)(-27)) = ∛216 = 6. Правое: ∛(-8) · ∛(-27) = (-2) · (-3) = 6. Таким образом, равенство выполняется.

  13. Вопрос: Приведите контрпример к утверждению √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y} для любых вещественных x, y. Ответ:

    • Возьмём n = 4, x = -1, y = -1. Левое: √[4]{(-1)(-1)} = √[4]{1} = 1. Правое: √[4]{-1} · √[4]{-1} — оба множителя не существуют в вещественных числах, следовательно, равенство неверно в обычном вещественном контексте.

  14. Вопрос: Чем отличается выражение √[n]{a^n} и |a|? Приведите пояснение. Ответ:

    • В общем случае √[n]{a^n} равно |a| если n чётное, а равно a если n нечётное.
    • Тождество с |a| верно для любого a при чётном n; при нечётном n √[n]{a^n} = a, а не обязательно |a|.

  15. Вопрос: Разложите или найдите простое представление: ∛72 в виде множителей корней. Ответ:

    • 72 = 8 · 9, поэтому ∛72 = ∛8 · ∛9 = 2 ∛9.

Если хотите, могу адаптировать уровень сложности (например, сделать больше задач на упрощение выражений или на логическое применение свойств) или подготовить отдельную версию теста с образцами ответов в виде шпаргалки для учителя.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
11 Класс

Тест по теме "Что такое Россия" (11 класс)

Вопрос 1:

Какова официальная форма правления в России? a) Республика
b) Монархия
c) Федерация
d) Олигархия

Ответ: a) Республика

Вопрос 2:

Какой документ является основным законом Российской Федерации? a) Устав о гражданских правах
b) Конституция
c) Закон о местном самоуправлении
d) Кодекс административных правонарушений

Ответ: b) Конституция

Вопрос 3:

Когда была принята современная Конституция России? a) 1991 год
b) 1993 год
c) 2000 год
d) 2005 год

Ответ: b) 1993 год

Вопрос 4:

Кто является главой государства в России? a) Премьер-министр
b) Президент
c) Спикер Государственной Думы
d) Глава Федерального Собрания

Ответ: b) Президент

Вопрос 5:

Какое море омывает западное побережье России? a) Чёрное море
b) Балтийское море
c) Охотское море
d) Кара sea

Ответ: a) Чёрное море

Вопрос 6:

Что из следующего является частью государственной символики России? a) Герб
b) Гимн
c) Флаг
d) Все вышеперечисленные

Ответ: d) Все вышеперечисленные

Вопрос 7:

Какое из данных утверждений о России является истинным? a) Россия имеет самые низкие запасы природных ресурсов в мире.
b) Россия — самая большая страна по территории.
c) В России нет океанов и морей.
d) Россия ограничена только одной страной на юге.

Ответ: b) Россия — самая большая страна по территории.

Вопрос 8:

Какой город является столицей Российской Федерации? a) Санкт-Петербург
b) Казань
c) Екатеринбург
d) Москва

Ответ: d) Москва

Вопрос 9:

Как называется главный законодательный орган власти в России? a) Государственная Дума
b) Совет Федерации
c) Федеральное Собрание
d) Конституционный Суд

Ответ: c) Федеральное Собрание

Вопрос 10:

Какое событие произошло в России в 1991 году? a) Завершение Второй мировой войны
b) Распад Советского Союза
c) Принятие новой Конституции
d) Образование Российской Федерации

Ответ: b) Распад Советского Союза

Вопрос 11:

Какой документ определяет основные права и свободы граждан в России? a) Гражданский кодекс
b) Уголовный кодекс
c) Конституция
d) Закон о свободе слова

Ответ: c) Конституция

Вопрос 12:

Какое из следующих утверждений верно для российского языка? a) Он является языком меньшинств.
b) Он имеет статус государственного.
c) Он не используется в официальных документах.
d) Он является одним из языков ООН.

Ответ: b) Он имеет статус государственного.

Вопрос 13:

Какая река является самой длинной в России? a) Волга
b) Лена
c) Обь
d) Енисей

Ответ: b) Лена

Вопрос 14:

Какое из следующих утверждений о российской экономике верно? a) Россия является одной из крупнейших экономик в мире.
b) Россия не имеет доступ к морям и океанам.
c) Вся экономика России основана только на сельском хозяйстве.
d) Экономика России полностью независима от природных ресурсов.

Ответ: a) Россия является одной из крупнейших экономик в мире.

Вопрос 15:

Какой русский классик написал произведение "Война и мир"? a) Фёдор Достоевский
b) Лев Толстой
c) Антон Чехов
d) Александр Пушкин

Ответ: b) Лев Толстой

Вопрос 16:

Каковы основные религии, представленные в России? a) Христианство и Ислам
b) Буддизм и Иудаизм
c) Только христианство
d) Все вышеперечисленные

Ответ: a) Христианство и Ислам

Вопрос 17:

Как называется программа, нацеленная на развитие арктических территорий России? a) Арктика — территория диалога
b) Программа Арктика
c) Стратегия по освоению Арктики
d) Арктическая инициатива

Ответ: d) Арктическая инициатива

Вопрос 18:

В каком году Россия стала членом Организации Объединенных Наций? a) 1945
b) 1960
c) 1991
d) 2000

Ответ: a) 1945

Вопрос 19:

Кто является автором российской государственной символики? a) Пётр I
b) Михаил Горбачёв
c) Борис Ельцин
d) Владимир Путин

Ответ: a) Пётр I

Вопрос 20:

Как называется крупнейший национальный парк России? a) Укок
b) Сочи
c) Алтайский
d) Зоологический

Ответ: c) Алтайский

Вопрос 21:

Какой из перечисленных товаров традиционно не производят в России? a) Золото
b) Производственная техника
c) Драгоценные камни
d) Бананы

Ответ: d) Бананы

Вопрос 22:

Какая форма правления в России? a) Президентская
b) Парламентская
c) Смешанная
d) Монархия

Ответ: c) Смешанная

Вопрос 23:

Кто имеет право законодательной инициативы в Российской Федерации? a) Президент
b) Члены Совета Федерации
c) Члены Государственной Думы
d) Все вышеперечисленные

Ответ: d) Все вышеперечисленные

Вопрос 24:

Какой из нижеперечисленных географических объектов является самой высокой точкой России? a) Урал
b) Эльбрус
c) Кавказ
d) Саян

Ответ: b) Эльбрус

Вопрос 25:

Какое главной транспортное соединение имеет России через Ла-Манш? a) Тоннель
b) Мост
c) Паром
d) Авиарейс

Ответ: c) Паром

Вопрос 26:

Кто занимается защитой прав человека в России? a) Следственный комитет
b) Генеральная прокуратура
c) Уполномоченный по правам человека
d) Федеральная служба безопасности

Ответ: c) Уполномоченный по правам человека

Вопрос 27:

Какое из следующих утверждений о местах размещения населения в России неверно? a) Большинство населения проживает в крупных городах.
b) В России есть высокоселенные районы.
c) Население равномерно распределено по всей стране.
d) Существуют районы с низкой населенностью.

Ответ: c) Население равномерно распределено по всей стране.

Вопрос 28:

Как называется интеграционная организация, в которую входит Россия и ряд стран СНГ? a) НАТО
b) ЕАЭС (Евразийский экономический союз)
c) ЕС (Европейский союз)
d) ООН

Ответ: b) ЕАЭС (Евразийский экономический союз)

Вопрос 29:

Что такое "Северный поток"? a) Мост через Босфор
b) Трубопровод для природного газа
c) Водный канала
d) Путеводитель по северным рекам

Ответ: b) Трубопровод для природного газа

Вопрос 30:

Какое из упомянутых лиц не является Президентом Российской Федерации? a) Борис Ельцин
b) Дмитрий Медведев
c) Виктор Черномырдин
d) Владимир Путин

Ответ: c) Виктор Черномырдин

Вопрос 31:

К какому городу относится "Кремль"? a) Санкт-Петербург
b) Казань
c) Москва
d) Сочи

Ответ: c) Москва

Вопрос 32:

Какой из следующих лидеров считается "основателем" современной России? a) Михаил Горбачёв
b) Борис Ельцин
c) Владимир Путин
d) Пётр I

Ответ: b) Борис Ельцин

Вопрос 33:

Какой из перечисленных народов не является коренным народом России? a) Энцы
b) Чукчи
c) Славяне
d) Тувинцы

Ответ: c) Славяне

Вопрос 34:

Кто представляет интересы России на международной арене? a) Президент
b) Министр иностранных дел
c) Генеральный секретарь ООН
d) Молодежный парламент

Ответ: b) Министр иностранных дел

Вопрос 35:

Какой самый северный город мира? a) Мурманск
b) Норильск
c) Архангельск
d) Хабаровск

Ответ: a) Мурманск

Вопрос 36:

Какой тип климата преобладает в большей части России? a) Восточноевропейский
b) Субтропический
c) Тундровый
d) Умеренно-континентальный

Ответ: d) Умеренно-континентальный

Вопрос 37:

Какое из перечисленных прав является гарантом в Конституции России? a) Право на образование
b) Право на работу
c) Право на жилище
d) Все вышеперечисленные

Ответ: d) Все вышеперечисленные

Вопрос 38:

Какой орган государственной власти в России фактически выполняет функции исполнительной власти? a) Государственная Дума
b) Совет Федерации
c) Правительство
d) Конституционный Суд

Ответ: c) Правительство

Вопрос 39:

Какой из городов России располагается на берегу Каспийского моря? a) Астрахань
b) Самара
c) Воронеж
d) Ярославль

Ответ: a) Астрахань

Вопрос 40:

Какой из следующих лиц в России не имеет права голоса на выборах? a) Граждане старше 18 лет
b) Лица с недееспособностью
c) Любой гражданин России
d) Лица, у которых есть судимость

Ответ: b) Лица с недееспособностью

Подсчет результатов

Количество правильных ответов: ___ из 40

Примечание для школьников

Этот тест предназначен для проверки ваших знаний о основах российской государственности. Используйте его в качестве подготовки к экзамену и не забывайте повторять основные темы!

{Другой предмет}
9 Класс

Тест по географии на тему "Машиностроение" для 9 класса

Задание: Соотнесите столбцы A и B.

Столбец A

  1. Завод "КамАЗ"
  2. Завод "Уралвагонзавод"
  3. Завод "Соллерс"
  4. Завод "ЯЗДА" (Ярославский завод дизельных двигателей)
  5. Завод "Тракторный" в Челябинске

Столбец B

А. Производство тракторов
Б. Производство автомобилей
В. Производство грузовых автомобилей
Г. Производство железнодорожного транспорта
Д. Производство дизельных двигателей

Ответы:

1 - В
2 - Г
3 - Б
4 - Д
5 - А

Этот тест поможет проверить знание учеников о предприятиях в сфере машиностроения и их специализации.

{Другой предмет}
10 Класс

Тест по истории для 10 класса

Тема: 1941 год – начало Великой Отечественной войны и войны на Тихом океане

Вопросы:

  1. 22 июня 1941 года началось ____________ (пропущенное слово) с нападения Германии на Советский Союз.

    Ответ: Великая Отечественная война

  2. Война на Тихом океане началась после ____________ (пропущенное слово) японскими войсками на военную базу США в Перл-Харборе.

    Ответ: нападения

  3. Основной причиной начала Великой Отечественной войны стало ____________ (пропущенное слово) агрессивной внешней политики нацистской Германии.

    Ответ: разжигание

Проверяйте свои ответы и обсуждайте их с учителем, чтобы лучше понять события 1941 года. Удачи на экзаменах!

{Другой предмет}
8 Класс

Тест по предмету: Математика

Тема: Применение свойств арифметического квадратного корня

Класс: 8

Вопрос 1:
Какое из следующих равенств является верным?
A) √(a × b) = √a + √b
B) √(a ÷ b) = √a ÷ √b
C) √(a × b) = √a × √b
D) √(a + b) = √a + √b

Верный ответ: B) √(a ÷ b) = √a ÷ √b

Вопрос 2:
Какое значение имеет выражение √(9 × 16)?
A) 27
B) 12
C) 36
D) 24

Верный ответ: A) 27

Вопрос 3:
Для какого числового значения x верно следующее равенство: √(x^2) = x?
A) Для всех x
B) Для всех положительных x
C) Для всех отрицательных x
D) Для x = 0

Верный ответ: B) Для всех положительных x

Итоговые ответы:

  1. B
  2. A
  3. B

Удачи на экзаменах!

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта