Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52

Посмотреть все тесты нейросети

Конструктор домашек ЕГЭ

Генератор тестов

Тренажёр ЕГЭ

Тест на тему Свойства корня n-ой степени

03 октября 2025 17:40

{Другой предмет}

11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по теме: Свойства корня n-й степени. Тип вопросов: открытые. Класс: 11. Количество вопросов: 15. Тест с ответами приведён сразу после каждого вопроса.

Вопрос: Что такое n-я корень из числа a? Приведите примеры для n = 2 и n = 3. Ответ:
- n-я корень из a — это число x такое, что x^n = a.
- Примеры: для n = 2, sqrt(9) = 3; для n = 3, корень кубический из -8: ∛(-8) = -2.
Вопрос: Упростите выражение корень n-й степени из a^n, i.e. √[n]{a^n}. Укажите зависимость от чётности n и знака a. Ответ:
- Если n чётное, √[n]{a^n} = |a|.
- Если n нечётное, √[n]{a^n} = a. Примеры: √[4]{(-3)^4} = 3; ∛((-5)^3) = -5.
Вопрос: Упростите выражение ∛(x^3 y^3). Ответ: ∛(x^3 y^3) = xy (для любых вещественных x и y).
Вопрос: Пусть x ≥ 0, y ≥ 0. Докажите или приведите пример свойства √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y} (для неотрицательных x, y). Ответ:
- При x ≥ 0 и y ≥ 0 выполняется: √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y}.
- Пример: для n = 3, x = 8, y = 27: ∛(8·27) = ∛216 = 6, а ∛8 · ∛27 = 2 · 3 = 6.
Вопрос: Пусть x ≥ 0, y > 0. Укажите аналогичное свойство для дроби: √[n]{x/y} = √[n]{x} / √[n]{y}. Приведите пример. Ответ:
- При x ≥ 0 и y > 0 выполняется: √[n]{x/y} = √[n]{x} / √[n]{y}.
- Пример: n = 3, x = 8, y = 27: ∛(8/27) = ∛(8)/∛(27) = 2/3.
Вопрос: Выразите √[n]{a^m} через a^(m/n). Укажите реальные ограничения на a для чётного n. Ответ:
- √[n]{a^m} = a^(m/n).
- Ограничения: если n чётное, под корнем должно быть неотрицательное число, то есть a^m ≥ 0, что обычно требует a ≥ 0 (или рассматривать модули и знаки в зависимости от m). Для нечётного n такие ограничения менее строгие, но в вещественных числах всё равно удобнее рассматривать случаи, когда под корнем определено.
Вопрос: Найдите вещественные корни: ∛(-8) и √[4]{-16}. Ответ:
- ∛(-8) = -2.
- √[4]{-16} не существует как вещественное число (для чётного n корень из отрицательного числа в вещественных числах не существует).
Вопрос: Вычислите √[4]{16}. Ответ: 2.
Вопрос: Найдите значение √[5]{-32}. Ответ: -2, потому что (-2)^5 = -32.
Вопрос: Упростите √[4]{8x^4} в явном виде через x. Ответ:
- √[4]{8x^4} = √[4]{8} · √[4]{x^4} = 2^(3/4) · |x| = |x| · √[4]{8}.
Вопрос: Докажите, что (√[n]{a})^n = a, если a ≥ 0. Ответ:
- Пусть b = √[n]{a}. Тогда b^n = a. Поскольку a ≥ 0 и n ∈ Nat, выражение корректно, и получаем (√[n]{a})^n = a.
Вопрос: Приведите пример, когда для x < 0, y < 0 и нечётного n равенство √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y} выполняется. Ответ:
- Возьмём n = 3, x = -8, y = -27. Левое: ∛((-8)(-27)) = ∛216 = 6. Правое: ∛(-8) · ∛(-27) = (-2) · (-3) = 6. Таким образом, равенство выполняется.
Вопрос: Приведите контрпример к утверждению √[n]{xy} = √[n]{x} · √[n]{y} для любых вещественных x, y. Ответ:
- Возьмём n = 4, x = -1, y = -1. Левое: √[4]{(-1)(-1)} = √[4]{1} = 1. Правое: √[4]{-1} · √[4]{-1} — оба множителя не существуют в вещественных числах, следовательно, равенство неверно в обычном вещественном контексте.
Вопрос: Чем отличается выражение √[n]{a^n} и |a|? Приведите пояснение. Ответ:
- В общем случае √[n]{a^n} равно |a| если n чётное, а равно a если n нечётное.
- Тождество с |a| верно для любого a при чётном n; при нечётном n √[n]{a^n} = a, а не обязательно |a|.
Вопрос: Разложите или найдите простое представление: ∛72 в виде множителей корней. Ответ:
- 72 = 8 · 9, поэтому ∛72 = ∛8 · ∛9 = 2 ∛9.

Если хотите, могу адаптировать уровень сложности (например, сделать больше задач на упрощение выражений или на логическое применение свойств) или подготовить отдельную версию теста с образцами ответов в виде шпаргалки для учителя.

Сгенерировать свой тест

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Свойства корня n-ой степени

Популярные тесты