Тест на тему теорема косинусов, синусов, площадь треугольника

Тест по геометрии (9 класс) Тема: теорема косинусов, теорема синусов и площадь треугольника Тип вопросов: множественный выбор Всего вопросов: 8 Ответы дано сразу после каждого вопроса.

1. В треугольнике стороны b = 5, c = 7, угол между ними A = 60°. Найдите сторону a напротив угла A.

• A) sqrt(39)
• B) 9
• C) sqrt(29)
• D) 11 Ответ: A Краткое решение: a^2 = b^2 + c^2 − 2bc cos A = 5^2 + 7^2 − 2·5·7·cos60° = 25 + 49 − 35 = 39, значит a = sqrt(39).

2. В треугольнике A = 40°, B = 70°, сторона a напротив угла A равна 8. Найдите сторону b напротив угла B.

• A) 8
• B) 11.7
• C) 9
• D) 14 Ответ: B Краткое решение: по синус–правилу b = a · sin B / sin A = 8 · sin70° / sin40° ≈ 8 · 0.9397 / 0.6428 ≈ 11.7.

3. Найдите площадь треугольника с двумя сторонами a = 6, b = 8 и включенным между ними углом C = 30°.

• A) 6
• B) 12
• C) 24
• D) 18 Ответ: B Краткое решение: S = 1/2 ab sin C = 1/2 · 6 · 8 · sin30° = 24 · 0.5 = 12.

4. По данным a = 5, b = 7, c = 6 найдите угол C напротив стороны c. (Используйте теорему косинусов)

• A) 36°
• B) 57°
• C) 63°
• D) 72° Ответ: B Краткое решение: cos C = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab) = (25 + 49 − 36) / (2·5·7) = 38/70 ≈ 0.5429, C ≈ arccos(0.5429) ≈ 57.1°.

5. Площадь треугольника по диагоналям сторон a = 5, b = 6, c = 7. Найдите площадь (формула Герона).

• A) 12
• B) 14.7
• C) 15
• D) 18 Ответ: B Краткое решение: s = (5+6+7)/2 = 9; S = sqrt(9·4·3·2) = sqrt(216) ≈ 14.7.

6. Найдите площадь треугольника, если две стороны a = 5, b = 9 образуют между собой угол C = 120°.

• A) 19.5
• B) 18
• C) 22
• D) 25 Ответ: A Краткое решение: S = 1/2 ab sin C = 1/2 · 5 · 9 · sin120° = 22.5 · (√3/2) ≈ 19.48 ≈ 19.5.

7. По данным a = 4, b = 7, углу C между ними равному 60°, найдите сторону c напротив угла C.

• A) sqrt(37)
• B) sqrt(35)
• C) sqrt(39)
• D) sqrt(40) Ответ: A Краткое решение: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C = 16 + 49 − 2·4·7·cos60° = 65 − 28 = 37, значит c = sqrt(37).

8. Найдите площадь треугольника, если две стороны a = 8, b = 9 образуют между собой угол C = 45°.

• A) 25
• B) 25.5
• C) 26
• D) 28.7 Ответ: B Краткое решение: S = 1/2 ab sin C = 1/2 · 8 · 9 · sin45° = 36 · √2/2 ≈ 36 · 0.7071 ≈ 25.46 ≈ 25.5.

Если нужно, могу оформить тест в формате файла (PDF/Word) или добавить дополнительные задания разного типа.