Новая школа

Ниже представлен тест по геометрии для 9 класса на тему «Решение треугольников». Тип вопросов — открытые. Всего 10 вопросов. Включены ответы и краткие решения.

В треугольнике ABC стороны a = 5 см, b = 7 см, угол C = 60°. Найдите сторону c и углы A и B. Ответ: c ≈ 6.24 см; A ≈ 43.90°, B ≈ 76.10°. Краткое решение: по закону косинусов c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C = 25 + 49 − 2·5·7·cos60° = 74 − 35 = 39, so c ≈ √39 ≈ 6.24. Далее найдём A и B по формулам косинусов: cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) ≈ 63/(2·7·6.24) ≈ 0.721 → A ≈ 43.9°; B = 180° − A − C ≈ 180° − 43.9° − 60° ≈ 76.1°.
Дано a = 8 см, b = 6 см, угол A = 30°. Найдите B, C и сторону c. Ответ: B ≈ 22.02°; C ≈ 127.98°; c ≈ 12.61 см. Краткое решение: sin B / b = sin A / a → sin B = b sin A / a = 6·sin30°/8 = 0.375 → B ≈ 22.02°. C = 180° − A − B ≈ 127.98°. Затем c / sin C = a / sin A → c = sin C · a / sin A ≈ sin(127.98°)·8/0.5 ≈ 12.61 см.
Прямоугольный треугольник: катеты 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу и углы. Ответ: гипотенуза c = 5 см; A ≈ 36.87°, B ≈ 53.13° (C = 90°). Краткое решение: по Пифагору c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 → c = 5. sin A = a/c = 3/5 → A ≈ 36.87°, B ≈ 90° − A ≈ 53.13°.
Дано a = 5 см, b = 7 см, угол A = 30°. Найдите все возможные треугольники (варианты) и стороны c. Ответ: два варианта exist:

Вариант 1: B ≈ 44.43°, C ≈ 105.57°, c ≈ 9.61 см;
Вариант 2: B ≈ 135.57°, C ≈ 14.43°, c ≈ 2.50 см. Краткое решение: sin B = b sin A / a = 7·sin30°/5 = 0.7. B может быть ≈ 44.43° или 180° − 44.43° = 135.57° (обсуждаем, подходит ли сумма углов). Для каждого варианта C = 180° − A − B и затем c по c = (a sin C)/sin A.

ASA: A = 40°, B = 60°, c = 9 см. Найдите стороны a, b и угол C. Ответ: C = 80°; a ≈ 5.88 см; b ≈ 7.92 см. Краткое решение: по сумме углов C = 180° − (40° + 60°) = 80°. По закону синусов: a / sin40° = c / sin80° → a ≈ sin40°·9 / sin80° ≈ 5.88 см; b / sin60° = c / sin80° → b ≈ sin60°·9 / sin80° ≈ 7.92 см. Можно дополнительно вычислить площадь: S ≈ (1/2)ab sin C ≈ 22.93 см².
Дано a = 6, b = 8, угол C = 70°. Найдите c и углы A, B. Ответ: c ≈ 8.20 см; A ≈ 43.6°, B ≈ 66.5°. Краткое решение: по закону косинусов c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C → c^2 ≈ 36 + 64 − 2·6·8·cos70° ≈ 67.17 → c ≈ 8.20. Далее найти углы: cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) ≈ 95.17/131.12 ≈ 0.726 → A ≈ 43.6°. cos B = (a^2 + c^2 − b^2)/(2ac) ≈ 39.17/98.34 ≈ 0.398 → B ≈ 66.5°.
Площадь треугольника по трём сторонам: a = 7, b = 9, c = 4. Ответ: S ≈ 13.42 см². Краткое решение: полукпериметр s = (7 + 9 + 4)/2 = 10. По формуле Герона: S = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] = √[10·3·1·6] = √180 ≈ 13.416.
У треугольника стороны a = 5, b = 6, c = 7. Найдите углы A, B, C. Ответ: A ≈ 44.43°, B ≈ 57.12°, C ≈ 78.46°. Краткое решение: cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) = (36 + 49 − 25)/(2·6·7) = 60/84 ≈ 0.714 → A ≈ 44.43°. cos B = (a^2 + c^2 − b^2)/(2ac) = (25 + 49 − 36)/(2·5·7) = 38/70 ≈ 0.5429 → B ≈ 57.12°. C = 180° − A − B ≈ 78.46°.

9)Isosceles треугольник: a = b = 5, c = 6. Найдите углы и высоту к основанию. Ответ: A = B ≈ 53.13°, C ≈ 73.74°; высота h = 4 см. Краткое решение: основание c противоположно углу C; cos C = (a^2 + b^2 − c^2)/(2ab) = (25 + 25 − 36)/50 = 14/50 = 0.28 → C ≈ 73.74°. Значит A = B = (180° − C)/2 ≈ 53.13°. Высота h к основанию: h = √(a^2 − (c/2)^2) = √(25 − 9) = √16 = 4.

У треугольника стороны a = 8, b = 9, c = 10. Найдите углы A, B, C. Ответ: A ≈ 49.46°, B ≈ 58.75°, C ≈ 71.79°. Краткое решение: по закону косинусов:

cos C = (a^2 + b^2 − c^2)/(2ab) = (64 + 81 − 100)/(2·8·9) = 45/144 ≈ 0.3125 → C ≈ 71.79°.
cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) = (81 + 100 − 64)/(2·9·10) = 117/180 ≈ 0.65 → A ≈ 49.46°.
B = 180° − A − C ≈ 58.75°.

Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретную систему заданий (сложность, формулировки, плотность вычислений) или сделать отдельный лист с ответами отдельно от вопросов.

A	B
1. Иван IV Грозный	a. Установление опричнины
2. Опричнина	b. Русский царь, первый, вступивший в титул "царь"
3. дворцовые перевороты	c. Убийство бояр и их семей
4. Ливонская война	d. Борьба за выход к Балтийскому морю
5. Стоглавый собор	e. Церковный собор, реформа церковного управления
6. Гроза	f. Период правления, срок травли врагов
7. Судьба новгородцев	g. Аннексия Новгорода
8. Воспитатели Ивана IV	h. Аристотель Фёдорович и Стефан
9. Церковная реформа	i. Упорядочение церковной иерархии
10. Реформа местного управления	j. Установление земских соборов
11. Западное направление политики	k. Стремление к сближению с Западной Европой
12. Последствия Ивана IV	l. Укрепление абсолютной власти царя
13. Разгром Казани	m. Завоевание Казанского ханства
14. Участие в Восточной войне	n. Освобождение России от татар
15. Подписание мирного договора	o. Установление мира с Ливонией

1. Иван IV Грозный

a. Установление опричнины

2. Опричнина

b. Русский царь, первый, вступивший в титул "царь"

3. дворцовые перевороты

c. Убийство бояр и их семей

4. Ливонская война

d. Борьба за выход к Балтийскому морю

5. Стоглавый собор

e. Церковный собор, реформа церковного управления

6. Гроза

f. Период правления, срок травли врагов

7. Судьба новгородцев

g. Аннексия Новгорода

8. Воспитатели Ивана IV

h. Аристотель Фёдорович и Стефан

9. Церковная реформа

i. Упорядочение церковной иерархии

10. Реформа местного управления

j. Установление земских соборов

11. Западное направление политики

k. Стремление к сближению с Западной Европой

12. Последствия Ивана IV

l. Укрепление абсолютной власти царя

13. Разгром Казани

m. Завоевание Казанского ханства

14. Участие в Восточной войне

n. Освобождение России от татар

15. Подписание мирного договора

o. Установление мира с Ливонией

A	Правильный ответ B
1. Иван IV Грозный	b
2. Опричнина	a
3. дворцовые перевороты	f
4. Ливонская война	d
5. Стоглавый собор	e
6. Гроза	c
7. Судьба новгородцев	g
8. Воспитатели Ивана IV	h
9. Церковная реформа	i
10. Реформа местного управления	j
11. Западное направление политики	k
12. Последствия Ивана IV	l
13. Разгром Казани	m
14. Участие в Восточной войне	n
15. Подписание мирного договора	o

Правильный ответ B

1. Иван IV Грозный

2. Опричнина

3. дворцовые перевороты

4. Ливонская война

5. Стоглавый собор

6. Гроза

7. Судьба новгородцев

8. Воспитатели Ивана IV

9. Церковная реформа

10. Реформа местного управления

11. Западное направление политики

12. Последствия Ивана IV

13. Разгром Казани

14. Участие в Восточной войне

15. Подписание мирного договора

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Решение треугольников

Популярные тесты

Тест по истории: Правление Ивана IV Грозного

Класс: 7

Вопросы на соотнесение

Ответы