Новая школа

Ниже представлен тест по геометрии на тему: «Окружность, вписанная в треугольник» для 7 класса. Тип вопросов: открытые. Количество вопросов: 5. В конце — ответы с решениями.

Тест

Что такое вписанная окружность треугольника? Где она касается сторон, и какой геометрический элемент служит центром вписанной окружности?
В треугольнике ABC стороны имеют длины: AB = 6 см, BC = 8 см, CA = 10 см. Найдите:
- радиус вписанной окружности r,
- площадь треугольника S,
- длины отрезков касания точки касания окружности с каждой стороной (разделение сторон на участки, соединяющие вершины с точками касания).
Объясните и докажите, что для любого треугольника площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: S = r · s, где r — радиус вписанной окружности, s — полупериметр. (Короткая обоснование с примером по вашему выбору.)
Рассмотрим треугольник с координатами вершин A(0,0), B(6,0), C(0,8). Вписанная окружность существует. Найдите:
- центр вписанной окружности (инцентр) и её радиус r,
- уравнение этой окружности.
Найдите радиус вписанной окружности треугольника со сторонами AB = 7 см, BC = 8 см, CA = 9 см. Такого треугольника достаточно для самостоятельного вычисления: найдите полупериметр, площадь по формуле Герона, затем радиус r = S / s. Также запишите полученный числовой результат и приблизительное значение радиуса.

Ответы (с решениями)

Ответ:

Вписанная окружность треугольника — окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.
Центр вписанной окружности называется инцентром; он является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Окружность касается сторон в точках касания, каждая из которых лежит на соответствующей стороне.

Дано: a = BC = 8 ( opposite A ), b = CA = 10 ( opposite B ), c = AB = 6 ( opposite C). Полупериметр s = (a + b + c)/2 = (8 + 10 + 6)/2 = 12. Площадь треугольника:

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) = sqrt(12·4·2·6) = sqrt(576) = 24 см^2. Радиус вписанной окружности:
r = S / s = 24 / 12 = 2 см. Длины отрезков касания (разделение сторон точками касания). Для каждого ребра длина отрезка, прилегающего к вершине, равна разности полупериметра и противоположной стороны:
На AB (c = 6): от A до точки касания = s − a = 12 − 8 = 4; от B до точки касания = s − b = 12 − 10 = 2.
На BC (a = 8): от B до точки касания = s − b = 2; от C до точки касания = s − c = 6.
На CA (b = 10): от C до точки касания = s − c = 6; от A до точки касания = s − a = 4. Итого: r = 2 см; S = 24 см^2; касательные разрезы по сторонам: AB делится на 4 и 2, BC на 2 и 6, CA на 6 и 4.

Ответ:

Доказательство: разделим треугольник на три треугольника, образованные вписанной окружностью с одной стороной треугольника. Радиус вписанной окружности — высота каждого из этих треугольников к соответствующей стороне треугольника и равен r. Их основания — стороны треугольника: a, b, c. Тогда площади этих треугольников равны (1/2) a r, (1/2) b r и (1/2) c r. Сумма площадей равна S = (1/2) r (a + b + c) = r s. Поскольку s = (a + b + c)/2, получаем S = r s. Пример: для треугольника со сторонами 6,8,10: s = 12, а = 8, b = 10, c = 6; S = r s = 24, как в задаче 2.

Ответ:

Для треугольника A(0,0), B(6,0), C(0,8) он является прямоугольным в A. Вписанная окружность в прямоугольном треугольнике имеет центр в точке (r, r), где r — радиус, равный разности половинной периметра и гипотенузы или просто r = (помощь: r = (a + b − c)/2 для прямоугольного треугольника с двумя катетами a и b и гипотенузой c). Здесь a = 6, b = 8, c = 10, поэтому r = (6 + 8 − 10)/2 = 2. Инцентр I имеет координаты (2, 2). Уравнение окружности: (x − 2)^2 + (y − 2)^2 = 2^2 = 4.
Проверка: расстояние от I до стороны AB (y = 0) равно 2; до стороны AC (x = 0) равно 2; до стороны BC, уравнение 4x + 3y = 24, расстояние также равно 2. Всё сходится.

Ответ:

Полупериметр s = (7 + 8 + 9)/2 = 12.
Площадь по формуле Герона: A = sqrt[s(s − a)(s − b)(s − c)] = sqrt[12 · 5 · 4 · 3] = sqrt[720] = 12√5.
Радиус вписанной окружности: r = A / s = (12√5) / 12 = √5 ≈ 2.236. Итак, радиус вписанной окружности данного треугольника равен √5 см (приближённо 2.24 см).

Что лучше всего описывает адаптивную физическую культуру?
A) Раздел физической культуры, где все выполняют одну программу без изменений
B) Организация двигательной деятельности с учётом состояния здоровья, возможностей и потребностей человека
C) Только подготовка к спортивным соревнованиям
D) Только выполнение теоретических заданий
Почему в адаптивной физической культуре одно и то же упражнение может выполняться учениками по-разному?
A) Чтобы некоторые ученики могли не участвовать без причины
B) Чтобы результаты было невозможно сравнить
C) Чтобы учесть индивидуальные особенности здоровья, физические возможности и потребности
D) Потому что на занятиях отсутствуют правила
Что следует сделать ученику, если упражнение оказалось для него слишком сложным?
A) Остановиться и попросить учителя подобрать безопасный вариант
B) Увеличить темп выполнения
C) Скрыть затруднение и продолжить
D) Покинуть спортивный зал без предупреждения
Какова главная цель разминки перед физической нагрузкой?
A) Быстро вызвать усталость
B) Полностью заменить основную часть занятия
C) Определить самого сильного ученика
D) Постепенно подготовить мышцы, суставы, дыхание и кровообращение к нагрузке
Как следует увеличивать физическую нагрузку на занятиях адаптивной физической культурой?
A) Сразу выполнять упражнения с максимальной интенсивностью
B) Постепенно, с учётом самочувствия и рекомендаций учителя
C) Одинаково для всех учеников, независимо от состояния здоровья
D) Увеличивать нагрузку только в конце учебного года
Для чего может использоваться адаптированный спортивный инвентарь?
A) Только для украшения спортивного зала
B) Чтобы полностью заменить помощь учителя
C) Чтобы сделать выполнение упражнений более доступным и безопасным
D) Чтобы усложнить задания для всех учеников
Как должен поступить ученик, если во время упражнения появилась резкая боль?
A) Прекратить упражнение и сообщить об этом учителю
B) Продолжить выполнение до конца
C) Сделать вид, что ничего не произошло
D) Самостоятельно увеличить нагрузку
Как правильнее дышать во время большинства физических упражнений?
A) Постоянно задерживать дыхание
B) Дышать только через рот
C) Не обращать внимания на дыхание
D) Дышать ровно, не задерживая дыхание без специальной команды
Для чего во время занятия иногда контролируют пульс?
A) Чтобы определить победителя
B) Чтобы оценить реакцию организма на нагрузку и при необходимости её изменить
C) Чтобы проверить скорость выполнения упражнения
D) Чтобы заменить все остальные правила безопасности
Какой пример соответствует принципу доступности упражнения?
A) Требовать от всех учеников одинаковой высоты прыжка
B) Не допускать ученика к упражнению без объяснения причины
C) Предложить вариант упражнения сидя, если это предусмотрено рекомендациями учителя
D) Отменить физическую активность для всего класса
Как безопаснее помогать однокласснику во время упражнения?
A) Сначала узнать у учителя способ помощи и действовать только по инструкции
B) Сильно тянуть одноклассника за руку
C) Самостоятельно менять правила упражнения
D) Подталкивать одноклассника, чтобы он двигался быстрее
Какой признак показывает, что темп выполнения упражнения подобран разумно?
A) Ученик не может сказать ни слова из-за одышки
B) Ученик старается любой ценой опередить остальных
C) Ученик продолжает упражнение несмотря на боль
D) Ученик сохраняет правильную технику, контролирует дыхание и чувствует себя нормально
Зачем в конце занятия постепенно снижают физическую нагрузку?
A) Чтобы сразу начать новое интенсивное упражнение
B) Чтобы плавно восстановить дыхание и работу организма после нагрузки
C) Чтобы проверить выносливость учеников на пределе возможностей
D) Чтобы заменить разминку следующего занятия
Что помогает получать пользу от занятий адаптивной физической культурой?
A) Редкое выполнение упражнений с максимальной нагрузкой
B) Пропуск занятий при хорошем самочувствии
C) Регулярность занятий, постепенность нагрузки и соблюдение рекомендаций
D) Выполнение только самых сложных упражнений
Что следует сделать после окончания занятия?
A) Спокойно восстановить дыхание и сообщить учителю о своём самочувствии
B) Сразу начать выполнять дополнительные упражнения с максимальной нагрузкой
C) Быстро покинуть спортивный зал, не переодеваясь
D) Не обращать внимания на необычные ощущения

Ответы

1 — B
2 — C
3 — A
4 — D
5 — B
6 — C
7 — A
8 — D
9 — B
10 — C
11 — A
12 — D
13 — B
14 — C
15 — A

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Окружность, вписанная в треугольник

Популярные тесты

Ответы