Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Доказательство неравенств

15 сентября 2026 06:06

{Другой предмет}
8 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

  1. Для любых действительных \(x\) и \(y\) нужно доказать неравенство \(x^2+y^2\ge 2xy\). Какое утверждение непосредственно доказывает его?
    A) \((x-y)^2\ge0\)
    B) \((x+y)^2\le0\)
    C) \((x-y)^2\le0\)
    D) \(x^2+y^2+2xy\le0\)

  2. Какое равенство верно и позволяет доказать неравенство \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)?
    A) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\)
    B) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\bigl((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\bigr)\)
    C) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=-\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\)
    D) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+b+c)^2\)

  3. Для \(x>0\) доказывается неравенство \(x+\frac1x\ge2\). Какая запись верна?
    A) \(x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge0\)
    B) \(x+\frac1x-2=\frac{(x+1)^2}{x}\ge0\)
    C) \(x+\frac1x-2=-\frac{(x-1)^2}{x}\ge0\)
    D) При умножении на \(x>0\) знак неравенства меняется

  4. Какое представление доказывает неравенство \(x^2-8x+17\ge1\) для любого действительного \(x\)?
    A) \(x^2-8x+17=(x-4)^2+1\ge1\)
    B) \(x^2-8x+17=(x-4)^2-1\ge1\)
    C) \(x^2-8x+17=(x+4)^2+1\ge1\)
    D) \(x^2-8x+17=-(x-4)^2+1\ge1\)

  5. Пусть \(a>0\) и \(b>0\). Какое равенство используется для доказательства неравенства \(\frac ab+\frac ba\ge2\)?
    A) \(\frac ab+\frac ba-2=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0\)
    B) \(\frac ab+\frac ba-2=\frac{(a+b)^2}{ab}\ge0\)
    C) \(\frac ab+\frac ba-2=-\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0\)
    D) При умножении на \(ab>0\) знак неравенства меняется

  6. Известно, что \(a+b=10\). Какой ход доказательства неравенства \(ab\le25\) является правильным?
    A) \(0\le(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=100-4ab\), поэтому \(ab\le25\)
    B) \(0\le(a-b)^2=4ab-100\), поэтому \(ab\ge25\)
    C) \((a-b)^2\le0\), поэтому \(ab\le25\)
    D) \(100=(a+b)^2=4ab\), поэтому \(ab=25\)

  7. Известно, что \(a+b+c=3\). Какое рассуждение доказывает неравенство \(a^2+b^2+c^2\ge3\)?
    A) \(0\le(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=a^2+b^2+c^2-3\)
    B) \(0\le(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=3-a^2-b^2-c^2\)
    C) Из \(a+b+c=3\) следует \(a^2+b^2+c^2=9\)
    D) Из \(a+b+c=3\) следует \(a^2+b^2+c^2\le3\)

  8. Если \(p<q\) и \(r>0\), какое неравенство обязательно верно?
    A) \(pr<qr\)
    B) \(pr>qr\)
    C) \(\frac p r>\frac q r\)
    D) \(-pr<-qr\)

  9. Если \(p<q\) и \(r<0\), какое неравенство обязательно верно?
    A) \(pr>qr\)
    B) \(pr<qr\)
    C) \(\frac p r<\frac q r\)
    D) \(-pr>-qr\)

  10. Пусть \(0<a<b\). Какое утверждение верно?
    A) \(\frac1a>\frac1b\)
    B) \(\frac1a<\frac1b\)
    C) \(\frac1a=\frac1b\)
    D) \(ab<0\)

  11. При \(0\le a\le b\) какой переход является верным?
    A) \(a^2\le b^2\)
    B) \(a^2\ge b^2\)
    C) \(a^2<b^2\) при любых \(a\) и \(b\)
    D) \(a^2+b^2\le0\)

  12. Какое дополнительное условие гарантирует, что из \(x<y\) следует \(x^2<y^2\)?
    A) \(0\le x<y\)
    B) \(x<y\le0\)
    C) \(x<0<y\)
    D) Никаких дополнительных условий не требуется

  13. Ученик утверждает: «Из \(a>b\) всегда следует \(a^2>b^2\)». Почему это утверждение ошибочно?
    A) Знаки \(a\) и \(b\) не заданы; например, \(-1>-2\), но \(1<4\)
    B) При возведении в квадрат любое неравенство всегда меняет знак
    C) Квадрат любого числа отрицателен
    D) При прибавлении одного и того же числа знак неравенства меняется

  14. Если \(a>b\) и \(c>d\), какое неравенство обязательно верно?
    A) \(a+c>b+d\)
    B) \(a-c>b-d\)
    C) \(ac>bd\)
    D) \(a+c<b+d\)

  15. Пусть \(x>-1\). Как доказать неравенство \(\frac1{x+1}>\frac1{x+3}\)?
    A) \(x+1>0\), \(x+1<x+3\), поэтому \(\frac1{x+1}>\frac1{x+3}\)
    B) Оба знаменателя отрицательны, поэтому знак сохраняется
    C) При переходе к обратным величинам знак неравенства всегда сохраняется
    D) При умножении на \((x+1)(x+3)>0\) знак неравенства меняется

  16. Пусть \(x>-2\). Какое преобразование доказывает неравенство \(\frac{x+2}{x+5}<1\)?
    A) \(1-\frac{x+2}{x+5}=\frac3{x+5}>0\)
    B) \(\frac{x+2}{x+5}-1=\frac3{x+5}>0\)
    C) \(x+5<0\)
    D) При умножении на \(x+5>0\) знак неравенства меняется

  17. Пусть \(u\ge0\) и \(v\ge0\). Какое равенство доказывает неравенство \((u+v)^2\ge u^2+v^2\)?
    A) \((u+v)^2-(u^2+v^2)=2uv\ge0\)
    B) \((u+v)^2-(u^2+v^2)=-2uv\ge0\)
    C) \((u+v)^2-(u^2+v^2)=uv\ge0\)
    D) \(2uv\le0\)

  18. Как правильно доказать неравенство \(|x|\ge x\) для любого действительного \(x\)?
    A) Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\); если \(x<0\), то \(|x|=-x>x\)
    B) Если \(x\ge0\), то \(|x|=-x<x\); если \(x<0\), то \(|x|=x\)
    C) Для любого \(x\) верно \(|x|=x-1\)
    D) При \(x<0\) всегда \(|x|<x\)

  19. При каком значении \(x\) достигается равенство в неравенстве \(x^2+4\ge4x\)?
    A) \(x=2\)
    B) \(x=-2\)
    C) \(x=0\)
    D) При любом \(x\)

  20. Какое преобразование доказывает неравенство \(x^4+1\ge2x^2\) для любого действительного \(x\)?
    A) \(x^4+1-2x^2=(x^2-1)^2\ge0\)
    B) \(x^4+1-2x^2=(x-1)^2\ge0\)
    C) \(x^4+1-2x^2=-(x^2-1)^2\ge0\)
    D) \(x^4+1<2x^2\)

  21. Известно, что \(x+y=7\). Какое преобразование доказывает неравенство \(x^2+y^2\ge\frac{49}{2}\)?
    A) \(x^2+y^2-\frac{49}{2}=\frac{(x-y)^2}{2}\ge0\)
    B) \(x^2+y^2-\frac{49}{2}=-\frac{(x-y)^2}{2}\ge0\)
    C) \(x^2+y^2=\frac{49}{2}\) при любых \(x\) и \(y\)
    D) Из \((x-y)^2\ge0\) следует \(x^2+y^2\le\frac{49}{2}\)

  22. Если \(a>b\) и \(b\ge c\), какое утверждение обязательно верно?
    A) \(a>c\)
    B) \(a<c\)
    C) \(a=c\)
    D) Сравнить \(a\) и \(c\) невозможно

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
8 Класс

Тест по истории на тему: Реформы Екатерины II

Класс: 8

Инструкции: Выберите один правильный ответ из предложенных вариантов.

  1. Какой документ был принят в 1767 году для реформирования местного самоуправления в России?
    • A) Жалованная грамота дворянству
    • B) Устав о восемнадцати губерниях
    • C) Жалованная грамота городам
    • D) Устав о помещиках

Ответ: C) Жалованная грамота городам

  1. Какую реформу Екатерина II представила в 1775 году?
    • A) Реформа армии
    • B) Реформа образования
    • C) Реформа губерний
    • D) Реформа налогов

Ответ: C) Реформа губерний

  1. Какой из следующих документов был создан для улучшения судебной системы?
    • A) Жалованная грамота крестьянам
    • B) Судебный устав
    • C) Устав о черносошных крестьянах
    • D) Жалованная грамота мелкопоместным дворянам

Ответ: B) Судебный устав

  1. Как называется период, в который Екатерина II осуществила свои реформы?
    • A) Золотое время
    • B) Э时代 просвещения
    • C) Период революции
    • D) Эпоха рыцарства

Ответ: B) Э época просвещения

  1. В каком году Екатерина II была провозглашена императрицей России?
    • A) 1740
    • B) 1762
    • C) 1786
    • D) 1796

Ответ: B) 1762

  1. Какую группу населения охватывали реформы Екатерины II наиболее значительно?
    • A) Буржуазию
    • B) Мещанство
    • C) Дворянство
    • D) Крестьяне

Ответ: C) Дворянство

  1. Заместителем какого поста Екатерина II стала после свержения своего мужа Петра III?
    • A) Император
    • B) Кадет
    • C) Регент
    • D) Король

Ответ: A) Император

  1. Какой из указанных институтов был основан Екатериной II для обучения чиновников?
    • A) Гимназия
    • B) Академия
    • C) Сенат
    • D) Технический университет

Ответ: B) Академия

  1. Какое направление в внешней политике Екатерина II было наиболее доминирующим?
    • A) Примирение с Европой
    • B) Расширение территории России
    • C) Нейтралитет
    • D) Дипломатическое сотрудничество

Ответ: B) Расширение территории России

  1. Какое событие во время правления Екатерины II показало силу крестьянского восстания?
    • A) Восстание Пугачёва
    • B) Восстание декабристов
    • C) Восстание Степана Разина
    • D) Восстание Полтавы

Ответ: A) Восстание Пугачёва

Тест завершен. Удачи на экзаменах!

{Другой предмет}
11 Класс

Конечно! Ниже представлен тест по истории России на тему «История России. 1945 год – начало XXI века» для 11 класса с 15 вопросами множественного выбора и ответами.

Тест по истории России. 1945 год – начало XXI века

  1. Какое событие ознаменовало завершение Великой Отечественной войны в 1945 году?
    a) Вступление СССР в войну против Японии
    b) Подписание Ялтинской конференции
    c) Окончание боевых действий на Европейском театре войны
    d) Поражение Германии
    Ответ: c)

  2. Как назывался государственный курс, реализуемый в СССР после 1945 года, предусматривающий восстановление страны?
    a) Десталинизация
    b) Индустриализация
    c) Послевоенная реконструкция
    d) Гласность
    Ответ: c)

  3. В каком году в СССР началась хрущёвская «оттепель», которая привела к смягчению политики?
    a) 1953
    b) 1964
    c) 1956
    d) 1968
    Ответ: c)

  4. Кто был лидером СССР в период «хрущёвской оттепели»?
    a) Иосиф Сталин
    b) Никита Хрущёв
    c) Леонид Брежнев
    d) Михаил Горбачёв
    Ответ: b)

  5. В каком году было подписано договор о разделе Германии и создании ГДР?
    a) 1949
    b) 1955
    c) 1961
    d) 1945
    Ответ: a)

  6. Что означают события «Пражская весна» (1968) в контексте советского влияния?
    a) Великая реформа в Чехословакии, подавленная войсками СССР
    b) Почтовая реформа в Пражде
    c) Поддержка модернизации экономики Чехословакии
    d) Выставка советского искусства в Праге
    Ответ: a)

  7. Какое событие связано с началом перестройки в СССР?
    a) Образование Союза СССР
    b) Исторический указ о запрете сталинизма
    c) Объявление политики гласности и перестройки Михаилом Горбачёвым
    d) Проведение Олимпийских игр 1980 года
    Ответ: c)

  8. В каком году распался Советский Союз?
    a) 1989
    b) 1990
    c) 1991
    d) 1992
    Ответ: c)

  9. Какое государство стало наследником СССР?
    a) Российская Федерация
    b) Беларусь
    c) Украина
    d) Все перечисленные
    Ответ: a)

  10. Кто был первым президентом Российской Федерации?
    a) Борис Ельцин
    b) Владимир Путин
    c) Дмитрий Медведев
    d) Михаил Горбачёв
    Ответ: a)

  11. В каком году был принят Конституционный акт Российской Федерации?
    a) 1990
    b) 1993
    c) 1999
    d) 2008
    Ответ: b)

  12. Как назывался экономический и политический курс, проводимый с 2000 года в России?
    a) Либерализация
    b) Консерватизм
    c) Стабилизация и модернизация
    d) Ельцинский курс
    Ответ: c)

  13. В каком году Россия начала участие в международных конфликтах, таких как война в Чечне?
    a) 1994
    b) 2000
    c) 2008
    d) 1999
    Ответ: d)

  14. Кто являлся президентом России в 2000 году?
    a) Борис Ельцин
    b) Владимир Путин
    c) Дмитрий Медведев
    d) Михаил Горбачёв
    Ответ: b)

  15. В каком году Россия провела референдум о возвращении Конституции 1993 года?
    a) 1993
    b) 1998
    c) 2000
    d) 2004
    Ответ: c)

Если нужно, я могу подготовить еще более подробные объяснения к правильным ответам или дополнительные материалы.

{Другой предмет}
8 Класс

Тест по информатике. Тема: Шестнадцатеричная система счисления. Класс: 8. Тип вопросов: Множественный выбор. Всего 10 вопросов. Ответы приведены после каждого вопроса.

  1. Какая десятичная величина соответствует шестнадцатеричной цифре C? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 Ответ: A

  2. Сколько будет десятичное число 255 в шестнадцатеричной системе счисления? A) FF B) F0 C) F1 D) FE Ответ: A

  3. Какая двоичная запись соответствует шестнадцатеричной цифре E? A) 1110 B) 1101 C) 1011 D) 1000 Ответ: A

  4. Что означает шестнадцатеричное число FF? A) 255 B) 256 C) 15 D) 4095 Ответ: A

  5. Сколько бит занимает одна шестнадцатеричная цифра? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 Ответ: B

  6. Сложение A и 5 в шестнадцатеричной системе даёт какое значение? A) 15 B) F C) 14 D) 13 Ответ: B

  7. Сколько шестнадцатеричных цифр нужно, чтобы записать байт (8 бит)? A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 Ответ: B

  8. Десятичное число 169 в шестнадцатеричной системе счисления? A) A9 B) B9 C) A8 D) B8 Ответ: A

  9. Каково двоичное представление числа 1F в восьмибитной форме? A) 00011111 B) 00111111 C) 11110000 D) 00010111 Ответ: A

  10. Какой больше: 2A или 1F? A) 2A B) 1F C) 2B D) 3A Ответ: A

Литература
8 Класс

Тест по литературе для 8 класса: Творчество М.Ю. Лермонтова и Н.В. Гоголя

Вопросы

  1. Какой стихотворный жанр предпочитал Лермонтов в своем творчестве?

    • A) Эпопея
    • B) Лирическая поэзия
    • C) Драма
    • D) Проза
    • Правильный ответ: B

  2. В каком произведении Лермонтов описывает внутренние противоречия и одиночество человека?

    • A) "На севере диком"
    • B) "Мцыри"
    • C) "Демон"
    • D) "Татьяна"
    • Правильный ответ: B

  3. Какова основная тема повести Н. В. Гоголя "Шинель"?

    • A) Патриотизм
    • B) Социальная несправедливость
    • C) Любовь
    • D) Природа
    • Правильный ответ: B

  4. Как называется главный герой "Шинели"?

    • A) Акакий Акакиевич Башмачкин
    • B) Иван Иванович
    • C) Григорий Печорин
    • D) Николай Васильевич
    • Правильный ответ: A

  5. Какой характер имеет образ Мцыри в одноимённом произведении Лермонтова?

    • A) Слабый и безвольный
    • B) Сильный и независимый
    • C) Комический
    • D) Саркастический
    • Правильный ответ: B

  6. В каком произведении Гоголь высмеивает бюрократию?

    • A) "Тарас Бульба"
    • B) "Мертвые души"
    • C) "Ревизор"
    • D) "Шинель"
    • Правильный ответ: C

  7. Какой основной конфликт присутствует в "Ревизоре"?

    • A) Конфликт между любовью и дружбой
    • B) Конфликт с природой
    • C) Конфликт между обществом и личностью
    • D) Конфликт между чиновниками и гражданами
    • Правильный ответ: C

  8. Какой мотив наиболее ярко выражен в "Мцыри"?

    • A) Природный
    • B) Городской
    • C) Психологический
    • D) Романтический
    • Правильный ответ: D

  9. Какой элемент сюжета "Шинели" может служить символом человеческой судьбы?

    • A) Книга
    • B) Шинель
    • C) Письмо
    • D) Улица
    • Правильный ответ: B

  10. Какие черты характера выделяются у Печорина, главного героя "Героя нашего времени" (одного из ключевых произведений Лермонтова)?

    • A) Эмоциональность и доброта
    • B) Нарциссизм и эгоизм
    • C) Скромность и разумность
    • D) Храбрость и благородство
    • Правильный ответ: B

  11. Чем заканчивается "Шинель"?

    • A) Свадьбой
    • B) Смертью главного героя
    • C) Путешествием
    • D) Исполнением желания
    • Правильный ответ: B

  12. Какой герой "Ревизора" больше всего напоминает чиновников своего времени?

    • A) Хлестаков
    • B) Гоголь
    • C) Городничий
    • D) Степан Иваныч
    • Правильный ответ: C

  13. Как Лермонтов относится к природе в "Мцыри"?

    • A) С презрением
    • B) С любовью и восхищением
    • C) Как к врагу
    • D) Безразлично
    • Правильный ответ: B

  14. В каком городе происходит действие "Ревизора"?

    • A) В Петербурге
    • B) В Москве
    • C) В губернском городе
    • D) В Одессе
    • Правильный ответ: C

  15. Какой стиль написания присущ Гоголю в "Шинели"?

    • A) Лиричный
    • B) Сатирический
    • C) Эпический
    • D) Романтический
    • Правильный ответ: B

  16. Какова судьба Мцыри после его побега?

    • A) Он становится великим воином
    • B) Он умирает в одиночестве
    • C) Он возвращается домой
    • D) Он путешествует по миру
    • Правильный ответ: B

  17. Кто открывает тайну о приезде ревизора в "Ревизоре"?

    • A) Городничий
    • B) Хлестаков
    • C) Месяц
    • D) Бурмистр
    • Правильный ответ: B

  18. Какое чувство преобладает у Акакия Акакиевича в "Шинели" после потери своего пальто?

    • A) Радость
    • B) Безразличие
    • C) Ужас и отчаяние
    • D) Ненависть
    • Правильный ответ: C

  19. Как завязываются отношения Хлестакова и других героев "Ревизора"?

    • A) Они становятся друзьями
    • B) Они пытаются имитировать его статус
    • C) Конфликтуют между собой
    • D) Путь к сотрудничеству
    • Правильный ответ: B

  20. Какой из следующих образов больше всего раскрывает идеи одиночества и чуждости в творчестве Лермонтова?

    • A) Печорин
    • B) Мцыри
    • C) Городничий
    • D) Акакий Акакиевич
    • Правильный ответ: B

Итог:

Тест состоит из 20 вопросов по теме творчества Лермонтова и Гоголя. Удачи на экзаменах!

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта