Задание №11648 ЕГЭ Профильной математике

Будем раскрывать модуль в 2 случаях:

1) $2x^2-3x-2⩾0$

2) $2x^2-3x-2⩽0$

Решим для первого случая:

$2x^2-3x-2⩾0$

$D=b^2-4ac=9-4·2·(-2)=9+16=25=5^2$

$\left[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+5}{4}=\frac{8}{4}=2\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-5}{4}=-\frac{2}{4}=-0,5\end{array}\right.$

$x\in (-\infty ; -0,5] \cup [2; +\infty ).$

Раскрываем модуль:

$2x^2-3x-2=a-2x^2-8x$

$4x^2+5x-(2+a)=0$

Чтобы корней не было или был один, то дискриминант должен быть меньше или равен 0.

$D=b^2-4ac=25-4·4·(-(2+a\left)\right)=25+32+16a=57+16a⩽0$

$16a⩽-57$

$a⩽-\frac{57}{16}$

Посмотрим, юудет ли конечная точка попадать в нужный промежуток.

При $a=-\frac{57}{16}$ получаем уравнение $4x^2+5x-(2-\frac{57}{16})=0$

Домножим уравнение на 16.

$64x^2+80x-(32-57)=0$

$64x^2+80x+25=0$

${\left(8x\right)}^2+2·8x·5+5^2=0$

${(8x+5)}^2=0$

$8x=-5$

$x=-\frac{5}{8}$ (попадает в промежуток)

Если же a будет меньше, то корней не будет как на разрешенном промежутке, так и на запрещенном.

Решим для второго случая:

$2x^2-3x-2\le 0$

Это неравенство отличается от предыдщего только знаком, поэтому мы будем брать другой промежуток:

$x\in [-0,5; 2].$

Раскрываем модуль:

$-2x^2+3x+2=a-2x^2-8x$

$11x+2=a$

Пусть у нас корень принадлежит указанному отрезку, тогда a принимает значения от $11·(-0,5)+2$ до $11·2+2$ включительно.

То есть $a\in [-3,5; 22].$

В остальных случаях корень уравнения будет лежать вне заданного промежутка, то есть по сути корней не будет

Теперь рассматриваем промежутки сразу для 2 случаев:

$a\in (-\infty ; -\frac{57}{16}]$: 1) 0 корней или 1; 2) нет корней - подходит

$a\in (-\frac{57}{16}; -3,5]$: 1) 2 корня; 2) нет корней - не подходит

$a\in (-3,5; 22]$: 1) 2 корня; 2) 1 корень - не подходит

$a\in (22; +\infty )$: 1) 2 корня; 2) нет корней - не подходит.

Таким образом, мы учитываем только один промежуток:

$a\in (-\infty ; -\frac{57}{16}].$