Задание №19618 ЕГЭ Профильной математике

Чтоб двигаться дальше нужно понять и представить как выглядит наш график функции: возмем а = 1

Правая ветка соответствует неравенству $x\ge 3$, и как мы можем видеть будет всегда иметь корень, то есть при любом значении а.
Левая ветка соответствует неравенству $x<3$, и как мы можем видеть, при а = 1 имеет 2 пересечения с гиперболой, то есть, наша задача состоит в том, чтобы найти точку касания прямой у=а(3-х) к гиперболе $y=\frac{5}{x+2}$.

Пусть $x<3$, тогда $\left|x-3\right|=3-x$, значит наше уравнение будет иметь вид:

$a\left(3-x\right)=\frac{5}{x+2}$

Приведем все к одному знаменателю и решим уравнение:

$\begin{array}{l}\left(3a-ax\right)\left(x+2\right)=5\\ 3ax+6a-a{x}^2-2ax=5\\ -a{x}^2+ax+6a-5=0\\ a{x}^2-ax-6a+5=0\end{array}$

Далее решим квадратное уравнение относительно х:

$D=a^2+a4\left(6a-5\right)=0$

Дискриминант должен быть равен 0, так как мы ищем один корень (пересечение).

Теперь нам остается решить квадратное уравнение относительно а и найти значение переменной:

$\begin{array}{l}{a}^2+24a^2-20a=0\\ 25a^2-20a=0\\ 5a^2-4a=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}a=0\\ a=\frac{4}{5}\end{array}\right.$

При а=0 корней нет, значит наш ответ а = 4/5 или а = 0,8