Преобразуем неравенство:

$4 \cdot 3^{2 x} - 17 \cdot {(3 \cdot 2)}^{x} + 18 \cdot 2^{2 x} \geq 0 4 \cdot 3^{2 x} - 17 \cdot {3^{x} \cdot 2}^{x} + 18 \cdot 2^{2 x} \geq 0 Разделим обе части неравенства на 2^{2 x}, 2^{2 x} > 0 4 \cdot \frac{3^{2 x}}{2^{2 x}} - 17 \cdot {\frac{3^{x} \cdot 2}{2^{2 x}}}^{x} + 18 \cdot \frac{2^{2 x}}{2^{2 x}} \geq 0 4 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2 x} - 17 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x} + 18 \geq 0 Пусть t = {(\frac{3}{2})}^{x} . Тогда t^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}, t > 0 4 t^{2} - 17 t - 18 \geq 0 Решим неравенство методом интервалов : 4 t^{2} - 17 t + 18 = 0 D = 17^{2} + 18 \times 4 \times 4 = 289 - 288 = 1 t_{1} = \frac{17 - \sqrt{1}}{8} = \frac{17 - 1}{8} = \frac{16}{2} = 2 t_{1} = \frac{17 + \sqrt{1}}{8} = \frac{17 + 1}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} Отметим корни на числовой прямой и определим знаки :$

Таким образом получим систему :

$\{\begin{cases} [\begin{matrix} t \geq \frac{9}{4} \\ t \leq 2 \end{matrix} \\ t > 0 \end{cases}$

Сделаем обратную замену:

$\{\begin{cases} [\begin{matrix} {(\frac{3}{2})}^{x} \geq \frac{9}{4} \\ {(\frac{3}{2})}^{x} \leq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \\ {(\frac{3}{2})}^{x} > 0 \end{cases} \{\begin{cases} [\begin{matrix} {(\frac{3}{2})}^{x} \geq \frac{9}{4} \\ {(\frac{3}{2})}^{x} \leq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \\ x \in ℝ \end{cases} [\begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq {\log_{1, 5}}^{2} \end{matrix} \Rightarrow x \in (- \infty; {\log_{1, 5}}^{2}] \cup [2; + \infty)$

Ответ: $(- \infty; {\log_{1, 5}}^{2}] \cup [2; + \infty)$

Задание №27087