Задание №51730 ЕГЭ Профильной математике

а) Применим формулу синуса суммы:
$$\begin{gathered} 2\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1 \\ \sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1 \\ \cos 2x-\cos x+1=0 \\ 2{\cos }^{2}x-1-\cos x+1=0 \\ \cos x(2\cos x-1)=0 \\ \cos x =0 \cos x =\frac{1}{2} \\ x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z \end{gathered}$$
б) Отберем корни с помощью числовой окружности:


$$\begin{gathered} x=\frac{5\pi }{2} \\ x=\frac{7\pi }{2} \\ x=4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3} \end{gathered}$$
Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi n,\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in Z;$ б) $\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2},\frac{11\pi }{3}.$